Matematické Fórum

↑ Majkee:
Přiznávám se, že poje "kombinatorická matice" neznám a mám pocit, že jsem o něm v životě neslyšel...
Je to Combinatorial matrix, nebo jde o něco jiného?

↑ Majkee:
Pokud jsem něco nepřehlédl nebo nedomyslel. Pak je výpočet determinantu poměrně jednoduchý.
Vezmeš matici:


A prostě odečteš poslední řádek od všech předcházejících. Tím získáš matici:


Na téhle matici bys měl vidět, že půjde celkem snadno rozvinout podle prvního řádku. Podle prvního sloupce získáš prakticky stejnou matici, jen o řád nižší. Podle posledního sloupce získáš matici, která půjde podle prvního prvku rozvíjet opakovaně až k úplnému vítězství. Samozřejmě nesmíš zapomenout na hlídání změn znamének.


Pokud jde o permanent, tak bych řekl, že bys mohl využít "pravidelnosti" struktury.
Zkus si představit všechny permutace prvků vycházející z prvního řádku - bude jich (n-1)! - nebo spíše rovnou součiny permutací:
právě jednou budeš mít součin (x+y)^n (diagonála je jen jedna)
právě (n-2) způsoby budeš mít součin (x+y)^(n-1)*y (právě na jednom z n-2 řádků "vylezeš" z diagonály)
právě (n-2)*(n-3)/2 způsoby budeš mít součin (x+y)^(n-2)*y^2 (na dvou z n-2 řádků vylezeš z diagonály)
......
No a pak se na to podíváš okem kombinatorickým, jestli to nejde nějak hezky spojit dohromady

Podobně si zjistíš všechny permutace začínající na libovolném řádku různém od jedné, výsledek pak vezmeš n-1 krát.

No a když oba součty součinů permutací sečteš, máš permanent.

(tedy pokud na mě nemá vliv včerejší liguére a já neplácám z cesty)