Matematické Fórum

Render · 15. 06. 2013 13:30

Ahoj, tohle bude pro vas asi hracka, ale nechapu definici lineárního prostoru.

Lin. prostor je neprázdná množina L, na které je definováno sčítání +: LxL -> L a násobení reálným číslem *: RxL->L a tyto operace splňují $\forall x, y, z \in L$ a $\forall \alpha \beta \in \mathbb{R}$ vlastnosti:

komutativnost,
asociativni zakon scitani a nasobeni,
distributivni zakony,
vlastnost realneho cisla 1,
existence nuloveho prvku

to co nechapu je zapis +: LxL -> L a RxL->L , co znamená?

jak třeba zjistim že mnozina M={0,1,2,3,4} je linearnim prostorem?

moc díky

JohnPeca18 · 15. 06. 2013 14:00

$L\times L$ je kartezsky soucin mnoziny L same se sebou. Prvky teto mnoziny jsou dvojice $(a,b), a\in L, b\in L$ no a scitovani neni nic jineho, nez funkce, ktera zobrazy dvojici prvku na jeden prvek. Takze je to funkce $+: L\times L \rightarrow L$ . Kdyby jsme chteli, tak klasicke scitovani v R, by jsme taky mohli zapisovat jako $+:R\times R \rightarrow R$ , s predpisem $+(a,b)=a+b$ teda napr $+(4,5)=4+5=9$ . Kdyz to ale chceme zobecnit, tak scitovani muzeme definovaj jakkoliv jinak, podobne i nasobeni, mas tam funkci $*:R\times L\rightarrow L$ , co znamena, ze nasobeni zobrazi kazdou dvojici $(a,b), a\in R, b\in L$ na prvek z L. Ale aby to davalo zmysl, tak chceme od techto funkcii to aby splnovali nejake pravidla , komutativitu, asociativitu, distributivitu atd.

Takze pokud máš nejakou množinu L, a máš na ní definováno sčítání a násobení reálním číslem, zkoušíš jestli tam platí tyhle pravidla a taky zkoušíš, jestli se ti výsledky násobení a sčítáni zobrazí do L, a ne někde mimo.

Máš zadanú množinu M, ale nemáš zadanou operaci sčítání a násobení reálným číslem, takže predpokládám, že se jedná o klasické sčitování a násobení. Tu ale hned vidíš, že když třeba sčítáš
prvky 3 a 4, tak 3+4=7, a 7 nepatri do tehle množiny, takže množina není lineárním prostorom.
stejne, když vynásobíš třeba číslo 3, reálnym číslem 1/2, tak ti vyjde 3/2, což taky nepatri do množiny L. Takže to je další duvod, proč to není lineární podprostor.

Matematické Fórum

#1 15. 06. 2013 13:30

Algebra

#2 15. 06. 2013 14:00

Re: Algebra

Zápatí