Matematické Fórum

Dopikasan · 21. 06. 2013 16:58

↑↑ jelena:
koukal jsem na to a tedy podle definice 6.30 "f má v bodě c absolutní (globální) maximum na M."

takže interval $\langle0,1\rangle$ je absolutní maximum?

Rumburak

↑↑ Dopikasan:

Hodnota $g(1/2)=1/4$ představuje určitě abs. minimum funkce $g$ na té zkoumané úsečce.

Ujasněme si definice těch pojmů.

I. Nechť je dána neprázdná množina $M \subseteq D$ , kde $D$ je definiční obor nějaké funkce $f$ nabývající reálných hodnot.
Jednotlivé hodnoty $f(x)$ pro $x \in M$ tedy můžeme porovnávat podle velikosti. Je-li některá z nich maximální, tj. žádná jiná ji nepřesahuje,
neboli (exaktně řečeno) je-li splněn výrok

"Existuje $w \in M$ takové, že pro každé $x \in M$ je $f(x) \le f(w)$ ." ,

potom (a jen tehdy) říkáme, že funkce $f$ nabývá v bodě $w$ svého maxima na množině $M$ . Jestliže navíc platí implikace
$x \neq w \Rightarrow f(x)<f(w)$ , pak říkáme, že jde o ostré maximum funkce $f$ ma množíně $M$ , v opačném případě můžeme
hovořit o neostrém maximu.

To je nejobecnější verse té definice. Nyní její speciální případy:

II. O lokálním (ostrém, neostrém) maximu funke $f$ v bodě $w$ hovoříme tehdy, když existuje množina $M$ z I., která je okolím bodu $w$
(aniž by nás muselo zajímat, jak je toto okolí "velké").

III. O absolutním (nebo též globálním) maximu funkce $f$ na množině $M$ hovoříme zpravidla tehdy, když chceme zdůraznit, že nejde o případ II.

Obdobně pokud jde o minimum funkce. Ale bylo by dobře, aby sis to nastudoval ze svých studijních materiálu (některé definice se u jednotlivých
autorů mohou v detailech lišit).

Příklad.

Hledejme extrémy funkce $f(x) := \frac{1}{2}\,x + \sin x$ v $\mathbb{R}$ . Jedinými kandidáty jsou body, kde $f'(x) = \frac{1}{2} + \cos x = 0$
(krajní body intervalu i body, v nichž neexistuje derivace, odpadají) . Řešeními poslední rovnice jsou

$u_k = \pi + \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ , $v_k = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ , kde $k$ probíhá množinu všech celých čísel.

Dále $f''(u_k) = -\sin u_k > 0$ , $f''(v_k) = -\sin v_k < 0$ , takže v bodech $u_k$ jsou lokální minima, v bodech $v_k$
jsou lokální maxima. Ale absolutní extrém v $\mathbb{R}$ funkce nemá.

Dopikasan

↑↑ Rumburak:
pro mě ty definice jsou špatně čitelné :( potřebuju spočítat příklady, abych to na nich viděl.
tady jsem zkusil nějaké řešení, co bys mi na tom vytkl?

ještě jeden pokus řešení tedy :D

Bati napsal(a):
Doplním, že stačí vyšetřovat množiny, kde $y=1-x$ nebo $y=-1+x$ , $x\in[0,1]$ , neboť pro f platí $f(-x,y)=f(x,-y)$ a $f(-x,-y)=f(x,y)$ .

takže stačí ošetřit první 2 rovnice ->

$y = 1 - x , x \in \langle 0 , 1\rangle$ a $y = 1 + x , x \in \langle -1 , 0\rangle$ dosadit do funkce f takže:
$f(x,1-x)=x^2-x(1-x)+(1-x)^2$
$f(x,1-x)=3x^2-3x+1$
$f'(x,1-x)=6x-3$
$x=1/2$ $\langle0,1\rangle$ leží na množině dosadim do $y=1-x$ takže $y=1/2$ body dosadim do f $f(1/2,1/2)=(1/2)^2-1/2*1/2+(1/2)^2$ a vysledek $f(1/2,1/2)=1/4$

to samé pro druhou rovnici:
$y=1+x$ na intervalu $\langle-1,0\rangle$
$f(x,1+x)=x^2-x(1+x)+(1+x)^2$
$f(x,1+x)=x^2+x+1$
$f'(x,1+x)=2x+1$
$x=-1/2$ leží na množině $\langle-1,0\rangle$ takže dosadím do $y=1+x$ z toho $y=1/2$ body dosadim do f $f(-1/2,1/2)=(-1/2)^2+1/2*1/2+(1/2)^2$ a výsledek $f(-1/2,1/2)=3/4$

to by znamenalo že v bodě $f(-1/2,1/2)$ je maximum a v bodě $f(1/2,1/2)$ minimum?

podle výsledku je všude maximum, snad jsem se teda někde nepřekoukl. Co dělám špatně? :(

jelena · 21. 06. 2013 19:37

↑ Dopikasan:

Ty jsi v tom, bohužel, zamotán. Mám ještě takový návrh - když si vezmeš příklad 16.27, pěkně si ho krok po kroku přepíšeš na papír a kde se zasekneš, tak se zeptáš tady, co jsi měl za problém.

Budeme hledět do stejného textu, což je výhoda.

Potom do stejné kostry řešení zkusíš zapsat celou tuto úlohu. Teď Tobě překáží nedostatečná zkušenost (nebo jsi pozapomněl) vyšetření absolutních extrému funkce jedné proměnné (v odkazovaném textu je také, str. cca 90 a dál. Uvažovala jsem, že do Tvého textu moderátorsky vstoupím a červeně označím, co je špatně. Němoderátor to také může udělat, že celý text vezme citátem a projede ho s červenou tužkou.

Snad ještě zkus ten vzorový, potom se pokusím(e) něco vymyslit, když nepůjde.

Dopikasan · 22. 06. 2013 12:17 — Editoval jelena (22. 06. 2013 13:11)

↑ jelena:
spočítal jsem tedy ten příklad 16.27
tady mi tedy není moc jasné ta rovnice přímky ?
obecná rovnice přímky je $y=kx+q$ k zjistím dosazením za x do první derivace, a tedy $k=-1$ .Tomuhle rozumím.
Ale není mi jasné proč y-2 ? a z čeho se určí q ?

Jelena: rovnice přímky y=kx+q může být sestavena tak, že k znáš a dosazuješ do rovnice k a bod (2, 2), kterým půjde tečna (zopakovat lineární funkce): $2=-1\cdot 2+q$ , nebo rovnou rovnice tečny $y-y_0=f^{\prime}(x-x_0)$ najít v užití derivací "rovnice tečny k funkci"

(strana 226)
tady jen technická dotaz, proč se tam používají pismenka u v w ? Kdybych to zapisal např u(0)=0 jako f(0,0)=0, jestli to je špatně?

Jelena: Je lepší označit tak, aby bylo jednoznačně jasné, že jsi převedl na funkci jedné proměnné. A různá písmena (u, w) prože pro každou z těchto funkcí máš samostatný předpis pro převod, jiný

tady "w" je vyšetření přímky $y=4-x$ a v bodě $w(0)=-12$ a $w(4)=-12$ kde bych si měl představit tyto body?

Jelena> Na intervalu od $x=0$ do $x=4$ jsi také našel bod lokálního extrému $x=2$ . Pro funkci jedné proměnné dosazuješ takové hodnoty x do předpisu $w=-3x^2+12x-12$ .

Pokud bys potřeboval postupně x=... pro nalezení y=... dosazuji do $y=4-x$ , pro nalezení f(x, y) dosazuji x, y do f(x, y), musí to však dávat stejnou hodnotu, jak dosazuješ do w(x).

Úplně přesně je to tak: funkce 2 proměnných je nějaká plocha v prostoru, zkusím přidat i obrázek. Když vyšetřuješ na konkrétní přímce, tak plochu řízneš rovinou kolmou k xOy a základem roviny je právě tato přímka. Výsledkem je jen křivka v prostoru, co je ta ková "nahrazena funkce).

jelikož tam není druhá souřadnice (Ypsilonová) tak si nejsem jist vůbec. jestli to je tedy jako (4,0) a (0,4) -> bod kde protíná osu x (hranice přímky y=4-x) ? Pokud bereš jen body na omezující přímce, tak je to tak.
Pokud celou funkci f(x, y), potom to je bod (4, 0, -12).

a z těhlech hodnot tedy určíme kde funkce má nejmenší a největší hodnotu. Ano, z poslední hodnoty souřadnic jednoho bodu (4, 0, -12) určujeme hodnotu funkce f(x, y) a to je pro nás po porovnání všech hodnot funkce směrodatné pro:

A zjistíme z toho i kde má absolutní maximum a minimum? Ano, největší hodnotě funkce odpovídá absolutní maximum, nejmenší odpovídá absolutní minimum

jelena · 22. 06. 2013 13:12

↑ Dopikasan:

Děkuji,

zkusila jsem připsat komentář přímo do Tvého textu.

Dopikasan · 22. 06. 2013 13:27

↑ jelena:
super díky, možná jsem to pochopil, zkusím tedy dopočítat puvodní příklad a napíšu to sem pro kontrolu :)

Dopikasan · 22. 06. 2013 16:56

↑ jelena:
tak jsem to spočítal a vyšlo mi to, psát celé to jsem nebudu, napíšu jen jeden bod.
Jediné na co bych se chtěl zeptat je jak určím intervaly funkce $|x|+|y|= 1$ když vyjádřím Y
$y = 1 - x , x \in \langle 0 , 1\rangle$ ten interval se dá udělat logicky, aby vyšel mezi (0,1) ,ale zajímalo by mě jestli na to je nějaký "trik"

řešení pro křivku
$y = 1 - x , x \in \langle 0 , 1\rangle$
$f(x,1-x)=x^2-x(1-x)+(1-x)^2$
$f(x,1-x)=3x^2-3x+1$
$f'(x,1-x)=6x-3$
z toho kdy je derivace rovna 0 je $x=1/2$ $\langle0,1\rangle$
takže budu dosazovat do $f(x,1-x)=3x^2-3x+1$ body $0$ , $1/2$ , $1$
které vyjdou $f(0)=1$ , $f(1/2)=1/4$ , $f(1)=1$

stejně jsem udělal všechny 4 přímky a vždy vyšli hodnoty bodu 1 (a je to i největší hodnota co vyšla) takže je to absolutní maximum.
body kde se derivace rovnala 0 vyšli v intervalu $(0,1)$ takže žádný extrém.

Toto by mělo být už bezchybné řešení (doufám). Moc děkuju za pomoc

jelena · 22. 06. 2013 20:24

↑ Dopikasan:

Pokud tomu rozumím dobře, tak dotaz je: "Jak vymezit, že vyšetřujeme na intervalech pro x náleží <-1, 0> a x náleží <0, 1>?

Hranice oblasti je zadána takovou formou $|x|+|y|= 1$ . Začnu v jednotlivých kvadrantech odstraňovat absolutní hodnoty:
1. kvadrant: x, y vše nezáporné, mám $x+y=1$ , rovnice přímky $y=1-x$
2. kvadrant x - záporné, y nezáporné, mám $-x+y=1$ , rovnice přímky $y=1+x$
3. kvadrant ...
4. kvadrant ...
Přímky mám tak. Společné body přímek najdu, že porovnám pravé strany rovnic přímek po dvojicích, např. : $y=1-x$ a $y=1+x$ dává $1-x=1+x$ , společný bod $x=0$ . Stačí tak k tomuto momentu?

stejně jsem udělal všechny 4 přímky a vždy vyšli hodnoty bodu 1 (a je to i největší hodnota co vyšla) takže je to absolutní maximum.

Překlad: "a vždy jsem našel maximální hodnotu funkce f(x, y)=1 pouze v jednom z bodů na okrajích úsečky.

body kde se derivace rovnala 0 vyšli v intervalu $(0,1)$ takže žádný extrém.

Překlad: Body, kde se derivace rovnala 0 a měli jsme lokální extrém na úsečce, však po dosazení do předpisu funkce f(x, y) poskytly menší hodnoty funkce, než číslo 1, o kterém byl předchozí překlad.

Toto by mělo být už bezchybné řešení (doufám)

Pokud nezapomeneš na bod (0, 0), který byl uvnitř čtverce a dává minimální hodnotu funkce f(x, y).

Už je všechno v pořádku?

Dopikasan · 22. 06. 2013 21:51

↑ jelena:
jojo díky, vše v pořádku. Děkuji za ochotu !

jelena · 23. 06. 2013 09:14

↑ Dopikasan:

také děkuji. Doporučuji v tomto tématu podrobně přečíst příspěvky kolegy Rumburaka - kolega to sice nečte rád, že je vážená matematická autorita, ale uznáš z těch příspěvku sám, s jakou pečlivosti přistupuje k celé úloze a teorii okolo. A pokud je někdo opravdu ochotný, tak kolega - děkuji.

A také vidíš, že samotnou novou látku celkem osvojíš, ale zbytečně se zasekneš na některé předchozí i na základech ze SŠ - něco potřebuješ si zopakovat. Tak ať se podaří projít hladce :-)

Označím za vyřešené.

Matematické Fórum

#26 21. 06. 2013 16:58

Re: Lokální a absolutní extrémy

#27 21. 06. 2013 17:00 — Editoval Rumburak (24. 06. 2013 11:31)

Re: Lokální a absolutní extrémy

#28 21. 06. 2013 18:40 — Editoval Dopikasan (21. 06. 2013 18:45)

Re: Lokální a absolutní extrémy

Bati napsal(a):

#29 21. 06. 2013 19:37

Re: Lokální a absolutní extrémy

#30 22. 06. 2013 12:17 — Editoval jelena (22. 06. 2013 13:11)

Re: Lokální a absolutní extrémy

#31 22. 06. 2013 13:12

Re: Lokální a absolutní extrémy

#32 22. 06. 2013 13:27

Re: Lokální a absolutní extrémy

#33 22. 06. 2013 16:56

Re: Lokální a absolutní extrémy

#34 22. 06. 2013 20:24

Re: Lokální a absolutní extrémy

#35 22. 06. 2013 21:51

Re: Lokální a absolutní extrémy

#36 23. 06. 2013 09:14

Re: Lokální a absolutní extrémy

Zápatí