Matematické Fórum

Holography

Zdravím mohl by mi prosím někdo zkontrolovat řešení dvou maticových rovnic připadně mi poradit co dělám špatně? Díky

Zadáni: z následujících výrazů se pokuste vyjádřit X (A,B,X jsou regulární matice)
a) $B+AB=X^{-1}B^{T}+X^{-1}$
b) $B^{-1}X^{T}B=B^{-1}AB+(BB^{T})^{T}$

Moje řešení:
a)
$B+AB=X^{-1}B^{T}+X^{-1}/X zleva$
$XB+XAB=B^{T}+E$
$X(B+AB)=B^{T}+E/(B+AB)^{-1} zprava$
$X=B^{T}(B+AB)^{-1}+(B+AB)^{-1}$

b)
$B^{-1}X^{T}B=B^{-1}AB+(BB^{T})^{T}/B zleva$
$X^{T}B=AB+B(BB^{T})^{T}/B^{-1}zprava$
$X^{T}=AB+B(BB^{T})^{T}B^{-1}/transponovat$
$X=(AB+B(BB^{T})^{T}B^{-1})^{T}$

Je to OK?

Kondr · 25. 01. 2009 15:09

V tom prvním -- násobením X a inverze X vznikne jednotková matice I
$B+AB=X^{-1}B^{T}+X^{-1}/X zleva$ (OK)
$XB+XAB=B^{T}+I$
$X=(B^{T}+I)(B+AB)^{-1}$

Druhý
$B^{-1}X^{T}B=B^{-1}AB+(BB^{T})^{T}/B zleva$ (OK)
$X^{T}B=AB+B(BB^{T})^{T}/B^{-1}zprava$
$X^{T}=A+B(B^TB)B^{-1}$
$X^{T}=A+BB^T$
$X=A^T+B^TB$

V té druhé úpravě jsem použil to, že $(CD)^T=D^TC^T$ -- tím se zbavíš zbytečných transponování.

Holography · 25. 01. 2009 15:40

↑ Kondr:
Díky za pomoc Kondr, už je mi to jasný

Pavel B · 25. 01. 2009 15:51

Řekl bych, že z té první rovnice se dá takhle jednoduše vyjádřit matice X pouze pokud je matice I+A regulární, jinak to nemusí mít řešení nebo těch řešení může být nekonečně mnoho (podle toho, jak vypadá matice B).

↑ Kondr:

V b) myslím, že jsi nesprávně provedl transpozici závorky, pokračuji třetím řádkem:

$X^{T}=A+B(BB^T)^TB^{-1}$
$X^{T}=A+BBB^TB^{-1}$
$X=A^T+(B^{-1})^TBB^TB^T$

Matematické Fórum

#1 25. 01. 2009 14:51 — Editoval Holography (25. 01. 2009 15:06)

Maticové rovnice

#2 25. 01. 2009 15:09

Re: Maticové rovnice

#3 25. 01. 2009 15:40

Re: Maticové rovnice

#4 25. 01. 2009 15:51

Re: Maticové rovnice

Zápatí