Matematické Fórum

drabi · 18. 06. 2013 13:17

Ahoj,
potřebovala bych trochu vysvětlit toto:

chci kořenová nadtělesa polynomu $x^3-2 \in \mathbb{Q}[x]$
kořeny jsou $\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2} e^{\frac{2 \pi i}{3}},\sqrt[3]{2} e^{\frac{4 \pi i}{3}}$ .

Kořenová nadtělesa by měla (dle všech dostupných materiálů) být $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}), \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2} e^{\frac{2 \pi i}{3}})$ , rozkladové nadtěleso by mělo být $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2} ,\sqrt[3]{2} e^{\frac{2 \pi i}{3}})$ .

Nechápu ovšem proč není kořenové nadtěleso $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2} e^{\frac{4 \pi i}{3}})$ , nevidím v kterém z těch dvou kořenových těles je obsaženo. V rozkladovém nadtělese je jasné, že tam obsaženo je.

Mohl by mi to prosím někdo vysvětlit? Díky

kexixex · 18. 06. 2013 19:49

Ahoj,
rekl bych, ze $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2} e^{\frac{4 \pi i}{3}})$ neni obsazeno v zadnym korenovym nadtelese z $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}), \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2} e^{\frac{2 \pi i}{3}})$ ..

Proc?
Evidentne $\sqrt[3]{2} e^{\frac{4 \pi i}{3}}$ $\not \in$ $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ ..

Predpokladejme, ze $\sqrt[3]{2} e^{\frac{4 \pi i}{3}}$ $\in$ $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2} e^{\frac{2 \pi i}{3}})$ . Pak ale $\sqrt[3]{2} e^{\frac{4 \pi i}{3}}+\sqrt[3]{2} e^{\frac{2 \pi i}{3}}=-\sqrt[3]{2}$ $\in$ $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2} e^{\frac{2 \pi i}{3}})$ . (tady uz je to asi jasny, pokracovani uz je cviceni pro me :) )

Ale protoze $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2} e^{\frac{2 \pi i}{3}})$ ={vsechny polynomy nad Q, do kterych dosadim $\sqrt[3]{2} e^{\frac{2 \pi i}{3}}$ } a $(\sqrt[3]{2} e^{\frac{2 \pi i}{3}})^3=2$ (staci tedy uvazovat polynomy stupne nejvyse 2) a $Im(\sqrt[3]{2})=0$ , musi existovat p,q,r $\in \mathbb{Q}$ tak, ze $r+p.(\sqrt[3]{2} e^{\frac{2 \pi i}{3}})^2+q.\sqrt[3]{2} e^{\frac{2 \pi i}{3}}=\sqrt[3]{2}$ , z toho plyne $p.Im(\sqrt[3]{4} e^{\frac{4 \pi i}{3}})+q.Im(\sqrt[3]{2} e^{\frac{2 \pi i}{3}})=0$ $\Leftrightarrow$ $-\frac{p}{q}=\sqrt[3]{2}$ , coz je spor..

Dava smysl? Mozna to jde rict i mnohem elegantnejc, nevim..

Matematické Fórum

#1 18. 06. 2013 13:17

kořenová nadtělesa

#2 18. 06. 2013 19:49

Re: kořenová nadtělesa

Zápatí