Matematické Fórum

Dopikasan · 18. 06. 2013 22:21

mám příklad vyšetřete lokální extrémy funkce y(x) pro křivku určenou implicitně rovnicí $F(x,y)=(x^2+y^2)^2+2y^2-2x^2=0$

zasaknul jsem se při derivaci už.
potom po derivaci bych měl vyjádřit $y'=-(dF/dx)/(dF/dy)$
z toho kořeny a dosadit do základní rovnice a do základní rovnice a zjistit konkretní body.

Prosím tu derivaci s komentářem, děkuji

martisek · 18. 06. 2013 23:13

↑ Dopikasan:
$\frac{\partial F}{\partial x}=2(x^2+y^2)\cdot 2x-4x$

$\frac{\partial F}{\partial y}=2(x^2+y^2)\cdot 2y+4y$

$y'=-\frac {2(x^2+y^2)\cdot 2x-4x} {2(x^2+y^2)\cdot 2y+4y}$

...

Dopikasan · 19. 06. 2013 01:03

↑ martisek:
ajo vlastně :D jsem ti napsal ten vzorec a neudělal jsem to, jsem to dělal trochu jinou metodou tak mi to moc nešlo, no to je jedno.

tedka z toho potřebuju určit nějaké kořeny, a to nevím jak když derivaci podle x položím nule tak mi tam vystupuje i y. tak nevím jak na to?

podle výsledku má vyjít $x_{1,2}\pm \sqrt{3/4}$

Honzc · 19. 06. 2013 11:00 — Editoval Honzc (19. 06. 2013 11:03)

↑ Dopikasan:
No takto:
$y'=-\frac {2(x^2+y^2)\cdot 2x-4x} {2(x^2+y^2)\cdot 2y+4y}=0$
a tedy
$2(x^2+y^2)\cdot 2x-4x=4x(x^2+y^2-1)=0$
a pak
$x=0$
$x^{2}+y^{2}-1=0\Rightarrow y^{2}=1-x^{2}$
tyto body dosadíš do původní rovnice
$F(x,y)=(x^2+y^2)^2+2y^2-2x^2=0$
Pro $x=0$ vyjde $y=0$ a $\frac{\partial F}{\partial y}=2(x^2+y^2)\cdot 2y+4y$ je nulová, což nesmí být, a tedy x=0 není stacionární bod.
Pro $y^{2}=1-x^{2}$
dostaneš
$(x^2+y^2)^2+2y^2-2x^2=(x^2+1-x^2)^2+2-2x^{2}-2x^{2}=0$
a z toho
$3-4x^{2}=0$
$x_{1,2}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$