Matematické Fórum

miso16211

zdravim, neviem kde hladat typi a triky na rieseni limit, ale tuto som takto vyriesil

$\lim_{x\to\infty }\frac{\sqrt{x+2}+3\cdot \sqrt{x^{2}-6}}{2\cdot x+1}$

zderivujem

$\lim_{x\to\infty }\frac{\frac{1}{2\cdot \sqrt{x+2}}+\frac{3x}{\sqrt{x^{2}-6}}}{2}$
upravim odmocniny v citateli

$\lim_{x\to\infty }\frac{\frac{\sqrt{x+2}}{2.(x+2)}+\frac{3x.(\sqrt{x^{2}-6})}{x^{2}-6}}{2}$
sčitam a roznasobim zlomky v citateli

$\lim_{x\to\infty }\frac{x^{2}.\sqrt{x+2}-6.\sqrt{x+2}+6x^{2}.\sqrt{x^{2}-6}+12x\cdot \sqrt{x^{2}-6}}{4x^{3}+8x^{2}-24x-48}$

podelim každý člen kubickym členom $x^{3}$

$\lim_{x\to\infty }\frac{\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}-\frac{6}{x}\cdot \sqrt{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}}+6.\sqrt{1-\frac{6}{x^{2}}}+\frac{12}{x}.\sqrt{\frac{1}{1}-\frac{6}{x}}}{4-\frac{8}{x}-\frac{24}{x^{2}-\frac{48}{x^{3}}}}$

pomocou $\lim_{x\to\infty }\frac{1}{x}=0$
$\lim_{x\to\infty }\frac{6.1}{4}=\frac{3}{2}$

dá sa to jednoduchšie? ako?

keď mam napr $\lim_{x\to\infty }x.(\sqrt{x^{2}+1}-x)$

rieši sa to takto? :
1. upravim vyraz na zlomok, snažím sa, aby som použil vzorec (a-b).(a+b)
2. vydelim x (pripadne s vyšším stupňom napr. $x^{2},x^{3}$ ) tak, aby som dostal čísla,
3. vo výrazoch typu $\frac{\text{čislo}}{x}$ použijem pravidlo - vyjde 0, ostatne čísla len opíšem a vyčíslim limitu.

martisek

↑ miso16211:

$\lim_{x\to\infty }\frac{\sqrt{x+2}+3\cdot \sqrt{x^{2}-6}}{2\cdot x+1}= \lim_{x\to\infty }\frac{\frac 1 x \sqrt{x+2}+\frac 3 x \cdot \sqrt{x^{2}-6}}{\frac 1 x (2\cdot x+1)}=$

$=\lim_{x\to\infty }\frac {\sqrt{\frac 1 x +\frac 2 {x^2}}+ 3\sqrt{1-\frac 6 {x^2}}} {2+\frac 1 x} = \frac 3 2$

miso16211 · 21. 06. 2013 21:52

↑ martisek:

prečo $\frac{2}{3}$ a nie $\frac{3}{2}$ ?

Jan Jícha · 21. 06. 2013 22:11

Zdravím, já bych u limit polynom/polynom zkoumal akorát nejvyšší exponent. Pokud jde v čitateli pak jde limita k nekonečnu, pokud je ve jmenovateli - pak k nule, a pokud jsou exponenty stejné (jako je tomu zde), pak výsledek akorát ten "koeficient". Na střední (i na VŠ) Tě ukáží princip vytýkání nejvyšší mocniny, ale jinak to můžeš dělat takhle z hlavy.

martisek · 21. 06. 2013 22:17

↑ miso16211:

To byl překlep, už je opraveno :-)

martisek · 21. 06. 2013 22:21

↑ Jan Jícha:

Tady to sice nejsou přímo polynomy, ale máš samozřejmě pravdu - konkrétně tady je výsledek vidět na první pohled. Postup pro kolegu ↑ miso16211: jsem uvedl jako princip, na kterém to funguje :-)

Matematické Fórum

#1 21. 06. 2013 19:01 — Editoval miso16211 (21. 06. 2013 19:14)

limita odmocniny

#2 21. 06. 2013 19:25 — Editoval martisek (21. 06. 2013 22:17)

Re: limita odmocniny

#3 21. 06. 2013 21:52

Re: limita odmocniny

#4 21. 06. 2013 22:11

Re: limita odmocniny

#5 21. 06. 2013 22:17

Re: limita odmocniny

#6 21. 06. 2013 22:21

Re: limita odmocniny

Zápatí