Matematické Fórum

Tipnul bych, že se při řešení takových úloh neočekává použití nějaké spolehlivé výpočetní metody. Stačí koukat na obrázky a hledat podobnosti.
K případu A: Hledejme homomorfismy G->H. Je-li G menší než H, některé mohou být dokonce prosté, to znamená že čistě najdeš obrázek G v rámci obrázku H, bez ohledu na cokoli (vrcholy, hrany) co je v H navíc. Neprosté homomorfismy se můžou hledat trochu hůř (G menší než H už nepředpokládám), zde se může na jeden vrchol v H zobrazit víc vrcholů z G, ale z definice mimo jiné plyne, že mezi vrcholy G, které se tím homomorfismem takto sbratří, nemůžou vést žádné hrany (zkus tohle z definice odvodit, nápověda: hrany v H jsou jen mezi různými vrcholy). Zkus najít nějaký homomorfismus G1->H1 zde:

Bude nutně neprostý, jelikož G1 je větší. Homomorfismy H1->G1 určitě najdeš taky (jsou celkem čtyři, rozmysli si, proč jsou všechny prosté).

K případu B: Tady jde o izomorfismy G->G, tedy každému vrcholu z G se přiřadí vrchol z G, a žádné sbratřování se neděje, je to permutace. Každý automorfismus odpovídá nějaké vizuální "symetrii": pootočení, překlopení, středová souměrnost... třeba G1 můžu:
- otočit o 90° doprava:
- otočit o 90° doleva:
- zrcadlit dle osy procházející body 2 a 3:
a tak dále. Zkus promyslet ještě otočení o 180°. Když vezmu graf s dalšími hranami navíc, některé symetrie zaniknou (ale žádné nepřibydou), zkus zjistit které to budou v tomhle případě:

B) Omlouvám se, v těch zápisech otáčení byly chyby (neměl jsem obrázek před sebou a myslel jsem, že jsem čísloval vrcholy jinak). (Opravil jsem to v původním příspěvku.)

A) Zapisuješ to neformálně ale myslíš to správně, ta jediná hrana v H1 se musí zobrazit na nějakou hranu v G1. Opět se ale omlouvám, je jich osm! Rozmysli si, že každé z tvých čtyř zobrazení má vlastně dvě verze (dvě možnosti, jak tu hranu v H1 "položit" na hranu v G1).
Kdyby existoval nějaký neprostý homomorfismus, musel by zobrazit oba vrcholy v H1 na jeden jediný vrchol v G1. Pak by ale dle definice musela být v G1 hrana z tohoto vrcholu do něj samého, což nikdy není.

Sorry za zmatky, příště si to po sobě přečtu pořádně.

↑ PanTau: Homomorfismus je zobrazení, čili funkce. Funkce f, jejíž definiční obor je množina vrcholů nějakého grafu G a nabývá hodnot z množiny vrcholů nějakého grafu H.
Například to "otočení o 90° doprava" odpovídá konkrétní funkci s definičním oborem   a oborem hodmot , definované předpisem .
Když je z kontextu jasné, že mluvím o funkci , můžu předpis zkrátit na . Protože se jedná prostě o výčet hodnot funkce, je úplně jedno v jakém pořadí je napíšu.
Při "pohybové" představě rotace ta funkce odpovídá tomu, že např vrchol 1 leží po pohybu tam, kde ležel původně vrchol .
To byl automorfismus, u obecného homomorfismu to funguje stejně. Například zobrazení z grafu H1 do grafu G1 (jeho definiční obor je ) definované předpisem je jedním z těch osmi homomorfismů H1->G1. Když přesunu H1 "na" G1 tak aby tam pasoval, leží 1 tam kde ležel (a stále leží) 4, a 2 leží tam, kde ležel (a stále leží) 3.  Zkus a nějaké další z těch osmi homomorfismů popsat tím zjednodušeným způsobem se šipkami.

To otočení o 180° jsi předepsal rozhodně špatně, ale nedokážu uhodnout, jak jsi na tohle přišel. Není to ani platný předpis funkce, protože bodu 4 přiřazuješ dvě různé hodnoty.

Bohužel, obojí co jsi napsal je úplně mimo mísu.. Problém je podle mě v tom, že ti není moc jasné, co si představit pod pojmem zobrazení.
Na vysvětlování techhle základnější věcí možná nejsem ten správný člověk, lepší asi bude když vyhledáš nějakou pedagogicky nadanou duši (nejlépe naživo) která by ideálně i věděla, na jaké pojmy a způsoby uvažování jsi zvyklý (já možná přistupuji k věcem až zbytečně formálně).
Když mě nějaké hezké vysvětlení ještě napadne, napíšu, ale teď se raději odmlčím, budu rád když se do tohodle vlákna přidá někdo další.

Přeju ať se daří, Vojta