Matematické Fórum

Richie · 26. 01. 2009 15:17

Ahoj, potřeboval bych ještě radu, jak dokázat,
že řada $\sum_{n=1}^{\propto}(\frac{1}{n} + ln(\frac{n}{n+1})$ konverguje

Marian · 26. 01. 2009 18:47 — Editoval Marian (26. 01. 2009 18:48)

↑ Richie:
Ale to je relativně snadné. Máš-li namysli řadu (pro nebalancovaný zápis se závorkami raději opravím a zopakuji)
$\sum_{n=1}^{\infty}\left (\frac{1}{n}+\ln\left (\frac{n}{n+1}\right )\right ),$
pak stačí ukázat, že funkce
$f(x):=\frac{1}{x}+\ln\left (\frac{x}{x+1}\right ),\qquad x\ge 1,$
je nerostoucí (konečná) funkce. Ale to je zřejmé z toho, že platí
$f'(x)=-\frac{1}{(x+1)x^2}<0,\qquad x\ge1.$
Použiješ-li integrální kriterium, máš konvergenci původní číselné řady, neboť bude
$0<\lim_{h\to +\infty}\quad\int_{1}^{h}\left (\frac{1}{x}+\ln\left (\frac{x}{x+1}\right )\right )\,\mathrm{d}x=2\cdot\ln 2-1<+\infty .$

Pavel B · 26. 01. 2009 23:43

↑ Richie:

Nebo můžeš dvakrát využít nerovnosti $\ln(1+x)\leq x,\,x\in(-1,+\infty)$ :

$\boxed{0}=\frac1n-\frac1n\leq\frac1n-\ln$1+\frac1n$=\frac1n-\ln$\frac{n+1}{n}$=\boxed{\frac1n+\ln$\frac{n}{n+1}$}=\frac1n+\ln$1-\frac{1}{n+1}$\leq \frac1n-\frac{1}{n+1}=\frac1{n(n+1)}<\boxed{\frac1{n^2}}$

Konvergence pak plyne ze srovnávacího kritéria.

Matematické Fórum

#1 26. 01. 2009 15:17

Ukažte, že řada konverguje

#2 26. 01. 2009 18:47 — Editoval Marian (26. 01. 2009 18:48)

Re: Ukažte, že řada konverguje

#3 26. 01. 2009 23:43

Re: Ukažte, že řada konverguje

Zápatí