Matematické Fórum

klarinka.skaa · 11. 07. 2013 12:29

Prosím o pomoc s následujícím příkladem: Tyč délky l= 10 m a hustoty 11,34 kg/dm3 je za jeden konec zavěšena ve svislé poloze. Materiál tyče má Youngův modul pružnosti v tahu E= 16GPa.
a) určete relativní prodloužení $\varepsilon$ tyče způsobené vlastní tíhou tyče [ $\varepsilon$ = 3,5 . 10 $^{-5}$ ]
b) určete relativní prodloužení tyče $\Delta$ l [ 35 mm]
Děkuji.

Rumburak

Nemá se v tom bodě b spíše určit prodloužení absolutní?

Hookeův zákon praví

$\frac {l_F - l_0}{l_0} = \frac {1}{E} \frac {F}{S}$ ,

kde $S , l_F$ jsou průřez tyče a její délka dosažená pružným prodloužením v důsledku vnější tažné sily $F$ .

Případ napínání zavěšené tyče její vlastní tíhou je složitější v tom, že celkově nejde o sílu vnější.

Orientujme souřadnicovou osu y směrem dolů a zavěšme tyč v počátku, takže neprodloužená tyč (při "vypnutí" gravitačního pole)
by pokrývala interval $[0, l_0]$ , kde $0$ je bod závěsu. Číslo $y \in [0, l_0]$ nechť značí souřadnici určitého bodu na tyči
(identifikovatelného smluvenou značkou) před jejím prodloužením, $\eta(y)$ nechť značí souřadnici téhož bodu po prodloužení.

Odhadněme fyzikálními kalkulacemi derivaci funkce $\eta(y)$ :

Úsek tyče malé délky $h$ v rozahu $[y, y + h]$ se prodlouží na $\eta(y+h) - \eta(y)$ , a to vlivem VŇEJŠÍ tažné síly, kterou
představuje tíha úseku v rozsahu $[y + h , l_0]$ rovna $g\varrho\,S ( l_0 - y -h)$ . Dosazením do Hookeova zákona máme

(1) $\frac {\eta(y+h) - \eta(y) -h}{h} = \frac {1}{E} \frac {g\varrho\,S ( l_0 - y -h)}{S} = \frac {1}{E}\, g\varrho\,( l_0 - y -h)$ ,

v limitě pro $h \to 0$ bude tedy

(2) $\eta'(y) - 1 = \frac {1}{E}\, g\varrho\,( l_0 - y)$ , $\eta'(y) = 1 + \frac {1}{E}\, g\varrho\,( l_0 - y)$ ,

odtud integrací podle $y$ od $0$ do $l_0$ získáme výsledek $\eta(l_0) = \eta(l_0) - \eta(0)$ , což je délka prodloužené tyče.

EDIT. Opraveny chyby v (1) a (2).