Matematické Fórum

miso16211 · 24. 07. 2013 14:41

zdravim, toto nechapem jak mam dosadit

je dane komplexne číslo z= 6 - 2i. Určte komplexne číslo z3 ak: komplexné číslo z3 má polovičný argument než dané čislo z3 a je komplexnou jednotkou. Viď petákova 137/39 po c.

Kde mam dosadiť tú komplexny jednotku?
viem, že z čísla 6 - 2i viem vypoćítať sin x alebo cos x.

$\sin \frac{\varphi }{2}i$ ? takto tomu mam rozumiet?

bejf · 24. 07. 2013 15:25 — Editoval bejf (24. 07. 2013 15:33)

↑ miso16211:
Ahoj. Vezmeš zadané komplexní číslo a převedeš ho do goniometrického tvaru. V tom goniometrickém tvaru ti vyjde nějaký argument. Potom si ten goniometrický tvar napíšeš vedle, ale s tím, že ten argument podělíš dvěma (třeba se něco zkrátí). A pak z toho goniometrického tvaru budeš převádět na algebraický tvar, z čehož ti vyjde hledané komplexní číslo z3. Ještě nezapomeň zohlednit, kdy je komplexní číslo komplexní jednotkou.

miso16211 · 24. 07. 2013 16:49

↑ bejf: šak hej
Ještě nezapomeň zohlednit, kdy je komplexní číslo komplexní jednotkou. nechapem
veď komplexne číslo je keď ma tam i alebo jeho nasobok. komplexna jednotka je i. Keď to urobim ako mysliš nevychádza.

Andrejka3 · 24. 07. 2013 17:03

↑ miso16211:
Není komplexní jednotka libovolné komplexní číslo s normou jedna (cokoliv co je na jednotkové kružnici v Gauss rovině)?
Imaginární jednotka vs komplexní jednotka - problém?

marnes · 24. 07. 2013 17:06

↑ miso16211:

1) dle návodu ↑ bejf: napiš goniometrický tvar zadaného KČ
2) urči polovinu,..

3) Komplexní jednotka neznamená, že tam je i, ale to, že absolutní hodnota je rovna jedné

miso16211

↑ marnes:↑ Andrejka3:↑ miso16211:↑ bejf:

$z=\sqrt{40}\cdot (\cos \frac{3}{\sqrt{10}}-\sin\frac{1}{\sqrt{10}} )$ - to som vedel

$\cos (\frac{\varphi }{2})=\sqrt{\frac{1-cos\varphi }{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{\sqrt{10}}}{2}}$

$\sin (\frac{\varphi }{2})=\sqrt{\frac{1+cos\varphi }{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{3}{\sqrt{10}}}{2}}$

no a teraz kde mam dodať komplexne číslo ktorého absolutna hodnota je jedna? a ako? argument ma byť komplexnou jednotkou znamená že má mať absolútnu hodnotu 1. Mala by tam byť nejaka premenna ktorú by som vypočítal.

$|\frac{\varphi }{2}|=1 ?$

$z_{3}=\sqrt{20+\sqrt{2}\cdot 3}+\sqrt{20-\sqrt{2}\cdot 3}\cdot i$ - v algebraickom tvare

a $|z_{3}|=\sqrt{40}$ a ako mam pretvoriť komplexne číslo tak aby malo abs 1? MôŽE SA TO?

marnes · 24. 07. 2013 18:30 — Editoval marnes (24. 07. 2013 18:30)

↑ miso16211:

$z=a+bi$

komplexní jednotkou se číslo nazve, když platí

$|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=1$

miso16211

↑ marnes: a? to viem a co mam s tym urobiť?

veď $\frac{\varphi }{2}=\frac{\varphi }{2}+0\cdot i$

$|\frac{\varphi }{2}|=\sqrt{(\frac{\varphi }{2})^{2}+0^{2}}=\frac{\varphi }{2}$ $\Rightarrow$ $\frac{\varphi }{2}=1$ $\Rightarrow$ $\varphi =2$ ?(v radianoch?)

marnes · 24. 07. 2013 20:27

↑ miso16211:
Jak už ti bylo psáno, pleteš si úplně pojmy. Přece argument - úhel není ani a ani b!

když máš třeba $z=2+3i$ , tak AH je $\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ a vidíš tady někde, že bych pracoval s úhlem?
To číslo musíš mít v algebraickém tvaru

miso16211 · 24. 07. 2013 21:03

↑ marnes:

veď ked to urobim s $z_{3}=\sqrt{20+\sqrt{2}\cdot 3}+\sqrt{20-\sqrt{2}\cdot 3}\cdot i$ dostanem odmonina zo 40.

a co mam z toho?

jelena · 24. 07. 2013 21:39

↑ miso16211:

Zdravím,

toto je skoro dobře - začátek příspěvku ↑ č. 6::, ovšem když odmocňuješ, nesmíš zapomenout na +/-, tedy:

$\cos $\frac{\varphi }{2}$=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\varphi }{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\frac{3}{\sqrt{10}}}{2}}$
$\sin $\frac{\varphi }{2}$=\pm \sqrt{\frac{1+\cos\varphi }{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\frac{3}{\sqrt{10}}}{2}}$

Ovšem ze zadání původního čísla $z=6-2\mathrm{i}$ bys měl odvodit ve kterém kvadrantu se bude nacházet úhel odpovídající polovině úhlu $\phi$ (to je využití ohledně polovičního argumentu).

A teď ohledně "komplexní jednotky", platí, že $|z_3|=|a_3+b_3\mathrm{i}|=\sqrt{a_3^{2}+b_3^{2}}=1$ a na druhou stranu můžeš komplexní číslo zapsat ve tvaru (goniometrickém) jako: $z_3=|z_3|$\cos \(\frac{\varphi }{2}$+\sin $\frac{\varphi }{2}$\mathrm{i}\)$

Ty už všechno máš, jen si udělej pořádek s kvadrantem (znaménko u sin, cos) a pořádně zapiš. V pořádku? Kolegy zdravím.

martisek · 25. 07. 2013 10:54

↑ miso16211:

Ahoj,

miso16211

↑ jelena:

no viem že ten uhol $\varphi =- 18° ...$ je teda vo štvtrom kvadrante. cosinus je kladny, sinus je záporny ale jak to dam do odmocnin?

no a mne to takto vychádza
$z_{3}=\sqrt{20-\frac{60}{\sqrt{10}}}-\sqrt{20+\frac{60}{\sqrt{10}}}i$
a nezhoduje sa to s riesenim a ziadnu komplexnu jednotku som nepouzil (každy tu spomina že abs sa ma rovnať 1 - ja to viem ale ako to mam použiť.)

a stačilo povedať že ak číslo má byť komplexnou jednotkou musí mať polomer 1.
Teda bude v tvare $|r|\cdot (\frac{a}{r}+\frac{b}{r}i)$ a kedže r = 1

bude v tvare a + bi.

$a=\cos \frac{\varphi }{2},b=\sin \frac{\varphi }{2}$

jelena · 25. 07. 2013 11:43

↑ miso16211:

Ty jsi asi na této úloze zaseknutý. Zkus ještě jednou přečíst zadání. Máš napsat předpis komplexního čísla $z_3$ tak, aby jeho absolutní hodnota byla 1 (číslo je "komplexní jednotkou") a aby orientovaný úhel, který svírá s kladným směrem osy x, byl poloviční oproti úhlu, který svírá původní číslo $z=6-2\mathrm{i}$ .

a) jsi určil, že původní číslo je ve 4. kvadrantu (ani přesně úhel nepotřebuješ, jen že úhel může být od 270 do 360 stupňů - proti ručičkám musí), poloviční úhel bude v intervalu 135 až 180, tedy ve II. kvadrantu,

b) správně jsi určil vztah mezi goniometrickými funkcemi původního úhlu a nového úhlu, jen pomocí bodu a) vyber správnou kombinaci znamének.

c) předpis komplexního čísla sestavuješ sice ve formě goniometrického, ale on se na Tebe nakonec tvaří jako algebraický tvar (a tak to má i ve výsledku Petáková).

dosaď, prosím, do tohoto předpisu: $z_3=|z_3|$\cos \(\frac{\varphi }{2}$+\sin $\frac{\varphi }{2}$\mathrm{i}\)$
$|z_3|=1$ (to je použití "kompleční jednotky")
$\cos $\frac{\varphi }{2}$=-\sqrt{\frac{1-\frac{3}{\sqrt{10}}}{2}}$
$\sin $\frac{\varphi }{2}$=+ \sqrt{\frac{1+\frac{3}{\sqrt{10}}}{2}}$

Tak v kterém kroku nerozumíš? Děkuji.

miso16211

↑ jelena:
bod a, prečo uhol musi byť od 270 do 360 a prečo nemoze byt záporny? viem že sa určuje uhol od x osi. ja som delil - 8° dvjkou a preto my vyšlo vo štvrtom kvadrante. A za $|z|$ som zobral $\sqrt{40}$ lebo v zadani bolo číslo, z ktorého som odvodil polomer.

vychádza takto $z_{3}=-\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{3\sqrt{10}}{20}}+\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{3\sqrt{10}}{2}}$

ale v riešeni je to iné so znamienkami, je to takto:
$z_{3}=-\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{3\sqrt{10}}{20}}+\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{3\sqrt{10}}{2}}$

diki všem, ja som išiel podľa realitického a nič sa mi nemiatlo. Len som si nenapísal všeobecný goniometrický tvar.
Teraz viem, že ak má byť číslo komplexnou jednotkou a je v goniometrickom tvare tak vyzerá asi takto:
$z=\cos x +i\sin x=a+bi$ (kedže $|z|$ = 1, $a,b\in \langle-1,1\rangle$ )

jelena · 25. 07. 2013 12:12

↑ miso16211:

já jsem napsal(a):
a) jsi určil, že původní číslo je ve 4. kvadrantu (ani přesně úhel nepotřebuješ, jen že úhel může být od 270 do 360 stupňů - proti ručičkám musí), poloviční úhel bude v intervalu 135 až 180, tedy ve II. kvadrantu,

Důležité, že jsi určil umístění původního čísla do 4. kvadrantu. Věřím, že někdo z kolegů (odborně zdatných doplní i upřesnění ohledně úhlu). Já beru tak, že hlavní argument má být v rozmezí $-\pi$ až $\pi$ . Tedy jeden hlavní argument (když počítám poloviční úhel já) se dostane do II. kvadrantu, druhý hlavní argument (jak jsi počítal Ty poloviční úhel) se dostane do 4. kvadrantu. Ale nejsem si jistá, zda můžeme brát úhel i po ručičkám - to prosím kolegy.

Také by mi přišlo, že 2 řešení splňuji požadavek úlohy (ale fakt nejsem si jistá použitím úhlu po ručičkách).

Úloha ještě požaduje grafické řešení - tam 2 řešení jsou dobře vidět.

vanok · 25. 07. 2013 12:14 — Editoval vanok (25. 07. 2013 13:12)

Ahoj ↑ miso16211:
Poznamka: pozoruj goniometricku kruznicu.
Potom iste konstatujes, ze znamienka cosinusu à sinusu zavisi a na stvrt rovinach( kvadrantoch), urcenych polosamy [0 x+),.... v ktorych je cast stvrt kruznice na ktorej je bod o ktory sa zaujimas.
A kazda z tych stvrtkruznice je urcena mierov uhlov...[0°,90°]......

Staci?

jelena · 25. 07. 2013 12:31

↑ miso16211:, ↑ vanok:

já jsem napsal(a):
Já beru tak, že hlavní argument má být v rozmezí $-\pi$ až $\pi$ .

ano, jen ten hlavní argument již musím brát přímo od zadání původního čísla $z=6-2\mathrm{i}$ (a zde je skutečně hlavním argumentem $\varphi =- 18°$ , tedy i poloviční tak, jak má kolega Mišo a znaménka pro 4. kvadrant v konečném výsledku:

$\cos $\frac{\varphi }{2}$=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{\sqrt{10}}}{2}}$

$\sin $\frac{\varphi }{2}$=- \sqrt{\frac{1+\frac{3}{\sqrt{10}}}{2}}$

Je to tak v pořádku a řešení je jen jedno? Děkuji.

miso16211 · 25. 07. 2013 14:14

↑ jelena: a pre vše

má byť hlavný argument - 8 ° alebo + 252 °? (1. otázka)
Môžu byť obidve možnosti teda, teda úloha bude mať dve riešenia? (2. otázka)
Prečo ak použijem hocktorý argument a premenim to na polovičný uhol, nevyjde mi tak ako v riešení v Petákovej? (3 otázka)

miso16211 · 25. 07. 2013 14:14

↑ vanok:
bod je buď vo štvrtom alebo druhom kvadrante.

jelena · 25. 07. 2013 15:05

↑ miso16211:

Podle mne hlavní argument musí být určen jednoznačně (protože i komplexní číslo je jedinečně zadáno $z=6-2\mathrm{i}$ ). Když se podíváš do různých materiálů, tak buď se bere od $0$ do $2\pi$ (píšou, že pro SŠ a tak kreslí i pan Krynický), potom k takovému číslu půjdu cestou o 252 stupňů.

Na wikipedii a u Rektoryse vidím $-\pi$ až $\pi$ , potom k takovému číslu půjdu přes $\varphi =- 18°$ . Pro shodu výsledku s Petákovou překontroluj si ještě vzorce pro poloviční úhel - mám dojem, že od Tebe kopíruji a přehozeně.

Tak nevím kterou cestou půjdou kolegové (já aktuálně mám jít umývat okna a dveře - jednoznačně, potom se večer podívám). Zkus si možná založit i téma v Ostatním, ať se podaří mít jasno.

miso16211

↑ jelena:
ano vzorec som sa pomylil, tak ako je v Petakovej je dobre. ďakujem všetkym co pomohli.

Rumburak · 25. 07. 2013 17:17

Zdravím a ještě doplním poznámku (dříve jsem se k tomu bohužel nedostal).

Ta úloha je celkem jednoduchá, uchopíme-li ji za správný konec.

Hledáme v ALGEBRAICKÉM TVARU číslo $z_3 = x + y\,\mathrm{i}$ , které má být komplexní jednotkou. To znamená, že

$x = \cos \alpha , y = \sin \alpha$ ,

kde $\alpha$ je argument čísla $z_3$ .

Aby číslo s argumentem $2\alpha$ leželo uvnitř IV. kvadrantu (jako číslo $z = 6-2\,\mathrm{i}$ ), musí $z_3$ nutně ležet uvnitř II. kvadrantu.
To vede k podmínkám

(1) $x < 0 , y > 0$ .

Gon. tvar daného čísla $z = 6-2\,\mathrm{i}$ tedy bude $z = |z|(\cos 2\alpha + \mathrm{i}\,\cos 2\alpha)$ , kde $|z| =\sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
a dále

(2) $\cos 2\alpha = \frac{6}{|z|} = \frac{3}{\sqrt{10}}$ ,
(3) $\sin 2\alpha = \frac{-2}{|z|} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$ .

Pomocí známých goniometrických vzorců dostáváme

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = x^2 - y^2$ ,
$\sin 2\alpha = 2\cos\alpha\, \sin\alpha = 2xy$ ,

což spolu s (2),(3) dává soustavu rovnic

(4) $x^2 - y^2 = \frac{3}{\sqrt{10}}$ ,
(5) $2xy = -\frac{1}{\sqrt{10}}$ .

Vydělíme-li rovnici (4) rovnicí (5) , což můžeme, protože rovnice (5) má nenulovou pravou stranu, obdržíme

$\frac{1}{2}$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$ = -3$ ,

substitucí $\frac{y}{x} = t$ dospějeme ke kvadratické rovnici, čímž získáme hodnotu $t = \tan \alpha$ .

Další nápovědu jistě netřeba.

jelena · 25. 07. 2013 21:55

kolega Rumburak napsal(a):
(dříve jsem se k tomu bohužel nedostal)

:-) Ty jsi také umýval okna a dveře (ještě rybíz je třeba zpracovat).

Zde jsou 2. momenty:

a) opět jsem byla nepozorná v použití vzorce, to opravím (a vidím, že i kolega ↑ miso16211: vzorec srovnal),

b) narazili jsme zde na problém "hlavního argumentu" komplexního čísla. Opisuji z Poláka (lepší učebnice pro SŠ neznám):

Přehled středoškolské matematiky napsal(a):
Zpravidla se bere hodnota argumentu komplexního čísla v intervalu $0\leq \alpha \leq 2\pi$ (tzv. hlavní hodnota argumentu či amplitudy), někdy též v intervalu $-\pi \leq \alpha \leq \pi$ . Na střední škole se užívá prvního způsobu.

Jen pro pořádek - kterou definici jsme nakonec použili? Děkuji :-)

Rumburak · 26. 07. 2013 09:12

Ahoj Jeleno (bohužel se mi někdy a např. i v tomto případě nezobrazuje "Reagovat").
Používal jsem tu středošk. definici. Na vvšší teoretické úrovni je potřeba shruba řečeno rozhodnout, kterou polopřímku s počátečním bodem 0
z Gaussovy roviny vyloučit, aby na zbytku existovala jednoznačná větev argumentu resp. logaritmu. Vyloučit polopřímku danou intervalem
$(-\infty, 0]$ na reálné ose je z určitých hledisek (mezi nimiž má své místo i elegance) výhodnější než vyloučit polopřímku jinou.
Pro účely středoškolské matematiky je zase výhodnější "lámat" to na polpřímce $[0, +\infty)$ .

Matematické Fórum

#1 24. 07. 2013 14:41

komplexna jednotka u argumentu

#2 24. 07. 2013 15:25 — Editoval bejf (24. 07. 2013 15:33)

Re: komplexna jednotka u argumentu

#3 24. 07. 2013 16:49

Re: komplexna jednotka u argumentu

#4 24. 07. 2013 17:03

Re: komplexna jednotka u argumentu

#5 24. 07. 2013 17:06

Re: komplexna jednotka u argumentu

#6 24. 07. 2013 18:05 — Editoval miso16211 (24. 07. 2013 18:11)

Re: komplexna jednotka u argumentu

#7 24. 07. 2013 18:30 — Editoval marnes (24. 07. 2013 18:30)

Re: komplexna jednotka u argumentu

#8 24. 07. 2013 18:46 — Editoval miso16211 (24. 07. 2013 18:46)

Re: komplexna jednotka u argumentu

#9 24. 07. 2013 20:27

Re: komplexna jednotka u argumentu

#10 24. 07. 2013 21:03

Re: komplexna jednotka u argumentu

#11 24. 07. 2013 21:39

Re: komplexna jednotka u argumentu

#12 25. 07. 2013 10:54

Re: komplexna jednotka u argumentu

#13 25. 07. 2013 11:18 — Editoval miso16211 (25. 07. 2013 11:46)

Re: komplexna jednotka u argumentu

#14 25. 07. 2013 11:43

Re: komplexna jednotka u argumentu

#15 25. 07. 2013 11:49 — Editoval miso16211 (25. 07. 2013 12:04)

Re: komplexna jednotka u argumentu

#16 25. 07. 2013 12:12

Re: komplexna jednotka u argumentu

já jsem napsal(a):

#17 25. 07. 2013 12:14 — Editoval vanok (25. 07. 2013 13:12)

Re: komplexna jednotka u argumentu

#18 25. 07. 2013 12:31

Re: komplexna jednotka u argumentu

já jsem napsal(a):

#19 25. 07. 2013 14:14

Re: komplexna jednotka u argumentu

#20 25. 07. 2013 14:14

Re: komplexna jednotka u argumentu

#21 25. 07. 2013 15:05

Re: komplexna jednotka u argumentu

#22 25. 07. 2013 15:59 — Editoval miso16211 (25. 07. 2013 15:59)

Re: komplexna jednotka u argumentu

#23 25. 07. 2013 17:17

Re: komplexna jednotka u argumentu

#24 25. 07. 2013 21:55

Re: komplexna jednotka u argumentu

kolega Rumburak napsal(a):

Přehled středoškolské matematiky napsal(a):

#25 26. 07. 2013 09:12

Re: komplexna jednotka u argumentu

Zápatí