Matematické Fórum

Tscar · 24. 07. 2013 22:57

Hoj,
narazil jsem na něco, co mi v hlavě uplně nesedí a prosím o osvětlení.
$A = (0,1) \bigcap_{}^{} \mathbb{Q}$ je množina otevřená v $\mathbb{Q}$ , ale v $\mathbb{R}$ otevřená není.
Podobně ostře uzavřený interval na $\mathbb{Q}$ je množina uzavřená v $\mathbb{Q}$ , ale otevřená v $\mathbb{R}$ .

Sherlock · 24. 07. 2013 23:18

Proč není v $\mathbb{R}$ otevřená? $(0,1)$ je otevřená vždy, ne?

Andrejka3 · 24. 07. 2013 23:37

↑ Tscar:
Hoj,
V obvyklé metrice je totiž v každém okolí libovolného racionálního bodu iracionální číslo.

Podobně ostře uzavřený interval na $\mathbb{Q}$ je množina uzavřená v $\mathbb{Q}$ , ale otevřená v $\mathbb{R}$ .

To druhé podle mě není pravda. Nemyslíš si náhodou, že množina, která není uzavřená, je otevřená? To není pravda.

Tscar · 25. 07. 2013 08:23

↑ Andrejka3:
Ta první část už je jasná: Množina je otevřená, pokud má každý bod z A okolí, které leží CELÉ v A.
S tím druhým tvrzením je to přesně tak, jak píšeš. Myslel jsem, že množina, která není otevřená, je uzavřená. Teď už je to jasný a vysvětluje to to tvrzení, co jsem psal výše.

Tohle byla taková klasická zkušenost s matematikou. Celou dobu to bylo intuitivně všechno jasný a najednou je člověk úplně vedle. Holt poučení pro příště.

Díky za pomoc.

Brano · 25. 07. 2013 14:48

nielen ze mnozina nemusi byt ani uzavreta ani otvorena, ale moze byt aj tak mnozina ktora je aj uzavreta aj otvorena

napr. v $X=R$ su take $\emptyset$ a $R$
alebo v $X=(0,1)\cup(2,3)$ su take $\{\emptyset;(0,1);(2,3);(0,1)\cup(2,3)\}$

martisek · 25. 07. 2013 22:13

↑ Tscar:

Jenom doplním:

$A = (0,1) \bigcap_{}^{} \mathbb{Q}$ je množina otevřená v $\mathbb{Q}$ ,

Ano, protože všechna čísla $0<x\in\mathbb{Q}<1$ jsou vnitřní, hranici tvoří jen čísla 0;1 a ta do dané množiny nepatří.

$A = (0,1) \bigcap_{}^{} \mathbb{Q}$ v $\mathbb{R}$ otevřená není.

To opravdu není, protože všechna čísla $0<x\in\mathbb{Q}<1$ jsou nyní hraniční a do množiny patří - z toho důvodu není otevřená. Není ale ani uzavřená, protože čísla 0;1 jsou rovněž hraniční, ale do množiny nepatří.

ostře uzavřený interval na $\mathbb{Q}$ je množina uzavřená v $\mathbb{Q}$

Ano - všechna čísla $0<x\in\mathbb{Q}<1$ jsou vnitřní, hranici tvoří jen čísla 0;1 a ta do dané množiny tentokrát patří.

ostře uzavřený interval na $\mathbb{Q}$ je množina otevřená v $\mathbb{R}$

Ne - všechna čísla $0<x\in\mathbb{Q}<1$ jsou hraniční a do množiny patří - z toho důvodu není otevřená
Je uzavřená, protože i čísla 0;1 jsou hraniční a do množiny rovněž patří.