Matematické Fórum

grizzlybear · 05. 08. 2013 23:14

Téma pro mě není jednoduché a bylo mi už mírně vysvětleno, je to trochu test na zdejší komunitu. Vezměme příklad:

u_{x}.u+u_{y}.u+u_{z}.u=0

a linearizujme podle proměnné u, (indexy jsou parciální derivace).

U_{x}.u+U_{y}.u+U_{z}.u+u_{x}.U+u_{y}.U+u_{z}.U=0

kde velkým písmenem je teď neznámá proměnná a s malým písmenem pak určitá konstantní hodnota. Tento postup jde obecně vysvětlit asi takto:
platí : rovnice (s u)=0
platí ta samá rovnice s perturbací U a konstantou u
rovnice(U+u)=0
teď obě rovnice odečti a vyjde ti linearizovaná forma rovnic.
(nejspíš) Totéž by mělo vycházet poměrně komplikovaným postupem, který mám někde napsaný na linearizaci operátoru.

Zajímalo by mě, jestli nejde jít do dalšího řádu v poruše a jak se to provádí- a případně jaký typ rovnic by pak vycházel (já osobně jsem vycházel z intuitivního použití Taylora rozvoje ne na funkci ale na rovnici)- jestli by vůbec byly nějak řešitelné... Případně jen jestli jste někdo/někdy na něco podobného narazili.
Ještě dodám, že já to matematicky nepotřebuju a konkrétně jsem na to narazil při linearizaci (často zjedodušených) Eulerových rovnic. Vycházeli pak rovnice pro různé vlny v atmosféře. Omlouvám se za případné nepřesnosti, které se patrně vyskytly. Matematiku asi dost znásilňuju.

Rumburak · 06. 08. 2013 07:58

A nestačilo by rovnici u_{x}.u+u_{y}.u+u_{z}.u=0 upravit na (u_{x}+u_{y}+u_{z}).u=0 , odkud plyne

u_{x}+u_{y}+u_{z}=0 nebo u = 0 ?

Formol · 06. 08. 2013 16:14

↑ grizzlybear:
Omlouvám se, ale asi jsem nepochopil tvůj problém. Dovolím si tedy zrekapitulovat, jak jsem pochopil linearizaci tvé parciální diferenciální rovnice (a taky si to při tom porovnám v hlavě):

Máš rovnici:

Součin funkce a derivece si nahradíš linearizací (např. pro x):

(velkými písmenky konstanty - někde se mi vytratila konstanta, která by vznilka při linearizaci diferenciálem a posléze by "zlobila" na pravé straně. Předpokládám tedy, že lze z nějakých spíše fyzikálních důvodů zanedbat)

Tím se vlastně dostaneš na parciální diferenciální rovnici:

Tedy po drobné algebraické úpravě:

Protože (i) pro parciální diferenciální rovnice platí, že je-li u řešením, je řešením i Ku, můžeš si položit K=1.

Z toho tedy vyjde lineární parciální diferenciální rovnice:

_____________________________

Tedy vlastě jsi linearizoval kvazilineární rovnici. Tady v tom případě má pravdu Rumburak, že metoda "kouknu a vidím" je lepší. Spíš mám pocit, že by mohl tenhle postup linearizace, tedy náhrada:

, fungovat na větší třídu kvazilineárních rovnic.
______________________________

A ke tvé otázce, zda by mělo smysl rozvádět do vyšších řádů - velmi pravděpodobně ne. Tím by se ti totiž objevily derivace pod mocninou a jestli je to u obyčejných diferenciálních rovnic dosti nepříjemné, bude do u parciálních celkem na houby. Přitom hlavním smyslem linearizace je studovaný systém aproximovat systémem, který je lépe řešitelný.

Brano · 06. 08. 2013 16:25

Formol napsal(a):
Protože (i) pro parciální diferenciální rovnice platí, že je-li u řešením, je řešením i Ku, můžeš si položit K=1.

nejak mi nie je jasne, co ma predpoklad spolocne s dosledkom

Formol · 06. 08. 2013 16:51

↑ Brano:
Nemá společného nic:-( Prostě jsem si jen vybavil, že tohle "vyhánění konstanty" je celkem snadné a napsal jsem první blbost, která mě napadla. Konkrétně zde by ten správný důvod měl znít - a teď už snad nestřelím pudla - že jde rovnici transformovat do souřadnic y_i = Kx_i, čím se K objeví i jako prvek násobící parciální derivace a bude možné obě rovnice podělit K. Pak se jen přeznačí souřadnice.

Brano · 06. 08. 2013 20:48

↑ Formol:
tak je to dobre :-)

inak aj ja sa priklanam k Rumburakovi, ze linearizovat ju je zbytocne.

↑ grizzlybear: ake mas presne zadanie? je tam povedane: "linearizujte ..." ?

grizzlybear · 08. 08. 2013 17:25

↑ Rumburak:
Nestačilo, ale to, co říkáš je patrně správně. To, co uvádím v příkladu není zas tak podstatné, můžeš si vymyslet vlastní rovnici a tu linearizovat. Příklad je něco jako u.div \vec{v}=0. O řešení linearizované rovnice jako takové mi taky tolik nejde- většinou dosazuju "vlnu" exp(ik(x-ct)). k=\frac{2\pi}{\lambda}. c- je rychlost šíření, může být komplexní. Ale to odbočuju.

grizzlybear · 08. 08. 2013 17:49

↑ Brano:
Zadání dost upravuju, neb se v tom vrtám- úloha není z žádný učebnice. To "jednodušší" je linearizujte (nějakou) rovnici. To složitější je jděte dál v rozvoji (jestli to vůbec jde).
Prakticky to, co jsem udal za příklad je nedobře napsaná rovnice kontinuity:

$\frac{\partial \varrho}{\partial t}+\vec{v}\nabla \varrho=-\varrho \nabla \vec{v}$

grizzlybear · 08. 08. 2013 18:23

↑ grizzlybear:
to co jsem zapomněl a je dost podstatné vyškrtneme (položíme rovné nule) kvadratické členy u perturbací. Druhak "konstantě" u se v jedné učebnici říká základní stav.
základní stav:
$\frac{\partial \varrho}{\partial t}+\vec{v}\nabla \varrho=-\varrho \nabla \vec{v}$
stav s perturbací:
$\frac{\partial HUST+hust}{\partial t}+\vec{(V+v)}\nabla (HUST+hust)=-(HUST+hust) \nabla \vec{(V+v)}$
nechce se mi to vypisovat všechno, ale třeba druhý člen na levé straně je:
$\vec{(V)}\nabla (HUST)+\vec{(V)}\nabla (hust)+\vec{(v)}\nabla (HUST)+\vec{(v)}\nabla (hust)$
člen:
$\vec{(V)}\nabla (HUST)$
je zanedbán, poslední člen zmízí z odečítání základního stavu a zůstanou lineární členy.

Můj přístup byl takový mlhavý a díky "kvadratickým členům" (nejsem si jistý správnou terminologií) by se dal označit jako "derivace součinu".
$\vec{(v)}\nabla (hust) \Rightarrow \vec{(V)}\nabla (hust)+\vec{(v)}\nabla (HUST)$
Ale lépe řečeno jsem používal parciální derivaci a pak nahrazení danou veličinou. (je to vyloženě pseudopostup) a na jiné rovnice nejspíš nefunguje. Tj. derivuj rovnici podle hustoty a nahraď to HUSTOTOU. Tj. pro jediný člen:
$\frac{\partial \rho}{\partial t} \Rightarrow \frac{\partial 1}{\partial t} (po derivaci) \Rightarrow \frac{\partial HUST}{\partial t} (po nahrazeni)$
Jsem toho názoru, že tyhle dva postupy dávají pro nějaké rovnice totéž. Jinak díky za názory. Vyjadřovat se k těmto otázkám v tomhle teple je úctyhodné. :)