Matematické Fórum

grizzlybear · 09. 08. 2013 16:33

Problém nemám nějak jasně definovaný a nejsem si správně jist kategorií...
Matně si pamatuju, že jedno nekonečno souvisí s mohutností přirozených čísel, říkejme mu nekonečno-a. A druhé nekonečno souvisí s mohutností reálných čísel- říkejme nekonečno-b. Prakticky jsem ale vždycky počítal jen s jedním nekonečnem značeným ležatou osmičkou- nevím, které z těch dvou to pak bylo. Tipoval bych, že třeba v sumě, co jde do nekonečna jde o nekonečno-a...
Jsou nějaká pravidla pro počítání s nekonečny?
opět, čekám že:
$\infty + cokoliv=\infty$
$\infty * kladne cokoliv=\infty$
až na neurčité výrazy:
$\infty-\infty \text{ } \infty/\infty \text{ } \infty. 0\text{ } 0/0$
lze ale říct např, že:
$\infty_{b}-\infty_{a}=\infty_{b}$
a podobně? Pracujete někdy s dvěma nekonečny nebo jen s jedním?

Brano · 09. 08. 2013 17:15 — Editoval Brano (09. 08. 2013 17:32)

Nechcem ta velmi popliest, ale prisne vzate je ta lezata osmicka uplne iny typ nekonecna ako kardinalne cisla. Ak uz by si chcel symbol $\infty$ z analyzy zlucit s nejakym kardinalnym cislom, tak je asi najrozumnejsie ho zlucit s $\aleph_0$ , co je kardinalita (=mohutnost) prirodzenych cisel. Kardinalita realnych cisel je $c=2^{\aleph_0}>\aleph_0$ . Inak kardinalnych cisel je strasne vela. Malicko z nich je konecnych - to su prirodzene cisla. Ostatne su nekonecne a ich pocet je taky, ze sa ani "nezmestia" do ziadnej mnoziny.

Potom co sa tyka odcitavania kardinalnych cisel, tak to sa obvykle nedefinuje, lebo ho nie je treba, ale keby si velmi chcel, tak kedze pre nekonecne $m,n$ plati, ze ak $m>n$ potom $m+n=m$ mozes pre $m>n$ definovat $m-n:=m$ .

V analyze sa tiez pracuje s viac nekonecnamy, ale lisia sa inym sposobom ako velkostou. V kontexte realnych cisel su dve $\infty,-\infty$ take, ze $R\cup\{\infty,-\infty\}$ tvori dvojbodovu kompaktifikaciu $R$ homeomorfnu s uzavretym intervalom, zatial co $\infty$ v komplexnych cislach je take, ze $C\cup\{\infty\}$ je jednobodova kompaktifikacia $C$ homeomorfna so sferou.

grizzlybear · 09. 08. 2013 17:51

↑ Brano:
dík, zajímavý. Vyznívá to tak, že kardinalita se řeší v matematice, kterou mi nevykládali. :) S tím sčítáním se mi to líbí, i když to neumím dokázat. :)

Jinak nerozumím:
"Kardinalita realnych cisel je $c=2^{\aleph_0}>\aleph_0$ . Inak kardinalnych cisel je strasne vela. Malicko z nich je konecnych - to su prirodzene cisla. Ostatne su nekonecne a ich pocet je taky, ze sa ani "nezmestia" do ziadnej mnoziny."

Ale asi to nech být, lehce jsem koukal na:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number

Asi se na pojem nekonečna dívám nepříliš abstraktně: "nekonečně dlouhý provázek". A reálná čísla :-/ "...nekonečná hustota v jednom bodě". Jak vidmo s takovýma představama se daleko nedojde. Ostatně i k pojmu číslo přistupuju intuitivně, teorii množin neznám.

Ale ještě teda v té analýze. Když sčítám nekonečnou řadu, tak si říkám, že to je řada o velikosti přirozených čísel- asi nejde sčítat řadu co má mohutnost reálných čísel...
A pak mi vyjde, že řada diverguje (nebo integrál) a vyjde $\infty$ to je taky nekonečno_a neboli $\aleph_0$ ?

Ještě mě napadá: nehraje tohle roli v teorii míry- pro funkci co je 0 na racionálních číslech a 1 na reálných (bez racionálních) na intervalu např. (0,1) vyjde integrál jedna? Nebo to je s dvěma druhy nekonečna zcela nesouvisející otázka?

grizzlybear · 09. 08. 2013 17:57

↑ Brano:
jo, něco s tou sférou se mi vybavuje. Chápu, že v matematice jde o přesné a abstraktní vyjádření, ale prakticky spíš pracuju s vlastní představou... Dvě nekonečna v R jsou představou nekonečného špagátu. V C se představujou hůř- tam bych řek, že jsou nekonečna "na všechny strany", což bude právě ten pól sféry- nejspíš.

Brano · 09. 08. 2013 18:23 — Editoval Brano (09. 08. 2013 18:27)

1) Kardinalne cisla sa ucia v teorii mnozin a aspon trosku ste z nej mali, kedze si polozil povodnu otazku.

2) v ramci teorie mnozin sa da ukazat, ze neexistuje "mnozina vsetkych kardinalnych cisel" co je ekvivalentne tomu, ze neexistuje mnozina vsetkych mnozin. To suvisi s Russelovym paradoxom.

3) Da sa v istom zmysle scitat aj nespocitatelne vela cisel (mozem napisat v akom, ak chces), ale ak to ma konvergovat (v tom zmysle co mam na mysli :-)) tak tych cisel moze byt najviac spocitatelne vela nenulovych (to tam vyjde ako veta)

4) To s tym integralom je tak ako pises (ak je to teda Lebesgueov integral) a vyznamnu rolu hra presne to, ze ta fcia je $=1$ okrem zopar vynimiek, ktorych je iba spocitatelne vela ( $=\aleph_0$ ) - tu sa jedna o pocet zlych bodov a pocet je kardinalne cislo.

5) V $C$ je obvykle iba to jedno nekonecno - co moze byt napr. severny pol tej sfery a kazdym smerom sa dostanes do toho isteho nekonecna. To neznamena, ze by sa nedali vymysliet nekonecna pre kazdy smer, ale nerobi sa to. Rychlo by si prisiel na to, ze keby si isiel "do nekonecna" po nejakej spirale, tak sa nedostanes ani do jedneho z nich a skoncil by si pri tom, ze by si definoval nekonecno pre kazdu neohranicenu krivku (a tam hladal nejake triedy ekvivalencii) a to by bola asi uz fakt moc neprehladne.

grizzlybear · 09. 08. 2013 18:35

↑ Brano:
Díky, já bych to nechal být. Ta 3) mě docela zaujala.

Stýv · 09. 08. 2013 18:50

já bych k tomu jenom poznamenal, že právě integrál je jakousi nespočetnou analogií součtu

Brano · 09. 08. 2013 20:39

Ak chceme vnimat integral ako sucet cez nespocitatelnu mnozinu, co je rozumna predstava, tak este treba poznamenat, ze v skutocnosti scitavame nekonecne male cisla. Totizto ak integrujeme napr.
$\int_0^1e^xdx$ tak nescitavame $e^x$ pre $x\in[0,1]$ ale $e^xdx$ kde to $dx$ je cosi nekonecne male.

Idea suctu cisel (t.j. nie nekonecne malych veciciek) cez akokolvek velku indexovu mnozinu sa da zachytit takto:
Uvazujme $\{x_i;i\in I\}$ pricom vsetky $x_i\ge 0$ a $I$ je lubovolna neprazdna indexova mnozina.
$\sum_{i\in I}x_i:=\sup\{\sum_{i\in J}x_i; J\subseteq I\text{, J je konecna}\}$
t.j. urobime vsetky mozne konecne sucty co sa daju a vezmeme ich supremum. So zapornymi cislami sa vysporiadame obvyklym sposobom, sucet kladnej casti, sucet zapornej casti a potom ich odratame, ak je ten rozdiel dobre definovany.

Rumburak

↑ grizzlybear:

Ahoj. To nekonečno vyjádřené ležatou osmičkou odpovédá představě "nekonečně vzdáleného bodu" -
jak jsi správně napsal, jde o abstrakci.

Na reálné ose uvažujeme takové "body" dva, jeden "napravo od nuly" , druhý "nalevo od nuly".

V komplexní rovině by takových nevlastních bodů mohlo být nekonečně mnoho (například na každou hlavní hodnotu argumentu
by analogicky jako u polopřímky mohl připadnout jeden), ale ukazuje se jako výhodnější zavést zde pouze jeden nevlastní bod
společný pro všechny polopřímky - pomocí stereografické projekce na sféru.

Najdu-li pěkný odkaz, dám ho sem.

EDIT. Pro představu by měl postačit druhý obrázek zde .

jarrro · 12. 08. 2013 10:54 — Editoval jarrro (12. 08. 2013 10:54)

↑ Rumburak:ahoj viem, že je to trochu OT, ale platí v komplexnej analýze
$\lim_{x\to\alpha}{f{$x$}}=c\in\mathbb{C}\wedge \lim_{x\to\alpha}{g{$x$}}=0\Rightarrow\lim_{x\to\alpha}{\frac{f{$x$}}{g{$x$}}}=\infty$
kde
$\alpha\in\mathbb{C}\cup\{\infty\}$
a nekonečno na konci je komplexné nekonečno ?

Rumburak

↑ jarrro:
Ahoj.

Pokud ještě přidáme předpoklady $c \ne 0$ a $g(x) \ne 0$ na některém redukovaném okolí bodu $\alpha$
( $\alpha$ může být i $\infty$ ) , pak ano.

Plyne to z faktu, že na tzv. uzavřené Gaussově rovině $G := \mathbb{C}\cup\{\infty\}$ zavádíme topologii tak, aby
stereografická projekce byla homeomorfismem (tedy spojitá "tam i zpět") , díky čemuž za fundamentální systém
okolí bodu $\infty$ v $G$ můžeme považovat množinové doplňky uz. kruhů se středem v bodě 0.

Nejsem si jist, zda jsem neudělal někde chybu v terminologii, od školy mám už určitý časový odstup . :-)

jarrro · 12. 08. 2013 11:31 — Editoval jarrro (12. 08. 2013 11:35)

↑ Rumburak:díky c rôzne od nuly som zabudol napísať a g rôzne od nuly to plynie zo toho, že sa pýtame na limitu podielu keby bolo na ľubovoľne malom redukovanom (to znamená, že je z neho vylúčený bod alfa?) okolí alfa g niekde nulové potom by tá limita nemohla z princípu existovať, lebo by neexistovala ani funkcia (podiel) na okolí alfa a otázka nemala zmysel je to tak?

vanok · 12. 08. 2013 12:02

Poznamka:
V urcitom zmysle tu
http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis
sa najde odpoved na polozenu otazku na zaciatku.
Pekna teoria v ktorej su casto jednoduchsie dokazy ako obycajne.

Brano · 12. 08. 2013 12:07

↑ vanok:
Nestandardna analyza pracuje s nekonecne velkymi cislami (potom aj nekonecne malymi) ktore su este uplne ine ako tie na ktore sa pytal, ale ak sa nemylim, tak $\infty$ sa tu da chapat ako nejaka trieda ekvivalencie, ktora obsahuje vsetky nekonecne velke cisla. Je to tak?

vanok · 12. 08. 2013 12:26

Ahoj ↑ Brano:,
Tu je jedna pristupna kniha
http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
O limitach sa pisé v kapitole 5.

Rumburak · 12. 08. 2013 16:58

↑ jarrro:

g rôzne od nuly to plynie zo toho, že sa pýtame na limitu podielu keby bolo na ľubovoľne malom redukovanom (to znamená, že je z neho vylúčený bod alfa?) okolí alfa g niekde nulové potom by tá limita nemohla z princípu existovať, lebo by neexistovala ani funkcia (podiel) na okolí alfa a otázka nemala zmysel je to tak?

I když si nejsem úplně jist, zda jsem tento poměrně složitě zformulovaný dotaz pochopil zcela správně, připadá mí, že to odpovídá tomu,
co jsem myslel. (Redukované okolí stejně jako prstencové okolí v české terminologii skutečně znamená okolí, z něhož je vyňat jeho střed,
což pro definici limity potřebujeme) .

Mezitím mne napadlo násleující.

V komplexní analýze se někdy definuje $\frac {a}{0} := \infty (a \ne 0)$ (analogicky. $\frac {a}{\infty} := 0 (a \ne \infty )$ ) .
Při této konvenci by předpoklad o nenulovém jmenovateli byl v té větě zbytečný.

jarrro · 12. 08. 2013 20:21

↑ Rumburak:díky myslel som to tak, že ak má byť ten podiel komplexné číslo tak g nemôže byť nulové a ak má existovať limita nejakej funkcie tak musí v prvom rade byť definovaná na nejakom redukovanom okolí v príslušnom bode . z toho dôvodu som predpoklad o nenulovosti g nepísal

Rumburak · 13. 08. 2013 10:56

↑ jarrro:

Ahoj. Omluv mne, pokud jsem po ránu ještě trochu rozespalý a pomalejší v chápání. :-) . Nicméně smysl tohoto Tvého sdělení

myslel som to tak, že ak má byť ten podiel komplexné číslo tak g nemôže byť nulové a ak má existovať limita nejakej funkcie tak musí v prvom rade byť definovaná na nejakom redukovanom okolí v príslušnom bode . z toho dôvodu som predpoklad o nenulovosti g nepísal

chápu tak, že onen předpoklad o nenulovosti funkce $g$ na nějakém redukovaném okolí bodu $\alpha$ jsi pojal - dalo by se říci - implicitně.

Ale k tomu jsi použil de facto předpoklad, že existuje limita toho podílu - ze samotných předpokladů

(1) $\lim_{x\to\alpha}{f{$x$}}=c\in\mathbb{C}\wedge \lim_{x\to\alpha}{g{$x$}}=0$

to nevyplývá. Avšak z (1) nevyplývá ani existence limity onoho podílu - pokud nemáme přijatu definici $\frac {a}{0} := \infty (a \ne 0)$ , o níž jsem se zmínil minule,
a která situaci okolo přirozených definičních oborů mnohých funkcí významně mění .

O.K. ?

jarrro · 13. 08. 2013 11:40

↑ Rumburak:ahoj vidíš to ma nenapadlo, ale z existencie podielu na redukovanom okolí alfa vyplýva existencia limity (za daných predpokladov o f g) nie?
či môžu existovať také f g tak, že podiel na nejakom okolí alfa (redukovanom) existuje, ale jeho limita neexistuje? predpoklady o f g sú
$\lim_{x\to\alpha}{f{$x$}}=c\in\mathbb{C}-\{0\}\wedge \lim_{x\to\alpha}{g{$x$}}=0$

Rumburak

↑ jarrro:

Správná je ta první varianta. Když na některém redukovaném okolí $A$ bodu $\alpha$ bude $g(x) \ne 0$ , pak tam budou mít smysl podíly
$\frac{f(x)}{g(x)} , \frac{1}{g(x)} , \frac{1}{|g(x)|}$ . Z předpokladu $\lim_{x\to\alpha}{g{$x$}}=0$ snadno plyne $\lim_{x\to\alpha}\frac{1}{|g(x)|}=+\infty$ (limita reálné funkce
komplexní proměnné). Z předpokladu $\lim_{x\to\alpha}{f{$x$}}=c\in\mathbb{C}-\{0\}$ vyplývá existence konstanty $M > 0$ a redukovaného
okolí $B\subseteq A$ bodu $\alpha$ , na němž je $|f(x)| > M$ . Takže na této množině $B$ , která je redukovaným okolím bodu $\alpha$ , platí

(1) $\left| \frac{f(x)}{g(x)} \right|= \frac{|f(x)|}{|g(x)|} > \frac{M}{|g(x)|}$ .

Pro $x \to \alpha$ jde $\frac{M}{|g(x)|}$ k $+\infty$ , takže tamtéž musí podle (1) jít i $\left| \frac{f(x)}{g(x)} \right|$ (opět jde o limity reálných funkcí kompl. prom.). Odtud

$\lim_{x\to\alpha}\frac{f(x)}{g(x)}= \infty$ -

************

Důkaz pro situaci, kdy nenulové k.č. je dovoleno dělit nulou s výsledkem $\infty$ , jistě netřeba blíže rozebírat.