Matematické Fórum

N3st4 · 12. 08. 2013 18:04 — Editoval N3st4 (12. 08. 2013 18:05)

Ahoj. Potrebujem overiť difeomorfizmus týchto dvoch objektov.

Objekty
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ , teda sféra $S^{2}\subset \mathbb{R}^{3}$ a
$x^{4}+y^{2}+z^{2}=1$ , označme A

Napadlo mi toto prirodzené zobrazenie $(x,y,\pm \sqrt[4]{1-x^{2}-y^{2}})\mapsto(x,y,\pm \sqrt[2]{1-x^{2}-y^{2}})$ , kde je jasný aj inverz, no neviem overiť hladkosť tohto zobrazenia.

Pretože, keď si napíšem Jakobiho maticu toho zobrazenia, čo asi nie je nutné sem písať, vidím, že keď parciálne derivujem tretiu zložku toho zobrazenia podľa jednej alebo druhej premennej, dostanem v menovateli $\sqrt[2]{1-x^{2}-y^{2}}$ , čo znamená, že na $S^{1}$ mám problém. Ako s tým vybabrať?

Myslím, že tam bude treba použiť vety o implicitnej a inverznej funkcii. Pretože ak zaistím, že $\forall a\in A$ je Jakobiho matica invertovateľná v tom a (+ zobrazenie je hladké), tak veta o inverznej funkcii mi zaručí lokálny difeomorfizmus, a keďže to zobrazenie je bijektívne, tak dostanem globálny difeomorfizmus.

Ďakujem za rady.

Rumburak · 13. 08. 2013 10:43

↑ N3st4:

Ahoj. Bodu $[x , y , z] \in S^2$ bych přiřadil bod $[\sqrt{|x|}\cdot \mathrm{sgn}(x) , y , z] \in A$ .

N3st4 · 13. 08. 2013 12:23

A ako zistím, že ide o difeomorfizmus?

Rumburak

↑ N3st4:

Jak na to koukám, tak zobrazení zde ↑ Rumburak: difeomorfismem nebude kvůli té odmocnině, pod níž pro $x=0$ je 0 ,
což narušuje požadovanou hladkost.

Zkusme na to jít přes geometrickou představu.

Varieta $A$ je něco mezi sférou $S^{2}$ a hranicí válce popsaného soustavou nerovnic $-1 \le x \le 1 \wedge y^2 + z^2 = 1$ ,
do něhož jsou variety $A , S^{2}$ vepsány. Zkusme, co dostaneme středovou projekcí (se středem v bodě $[0, 0, 0]$ )
sféry $S^{2}$ na $A$ . Bodu $[x, y, z] \in S^2$ tak přiřadíme jistý bod $[\lambda x , \lambda y , \lambda z] \in A$ , kde $\lambda = \lambda(x, y, z) > 0$ .

Předpis pro funkci $\lambda$ určíme z rovnic $x^2 + y^2 + z^2 = 1 , \lambda^4x^4 + \lambda^2y^2 + \lambda^2z^2 = 1$ .

K ověření, že jde o difeomorfismus, pak nutno ještě dokázat hladkost "tam i zpět" . Roli v tom hraje nenulovost jacobiánu.
Pokud takto nezískáme difeomorfismus, tak už nevím jak .