Matematické Fórum

Keeeeke · 26. 08. 2013 15:27

Ahoj všem,
řešim příklad z analytiky.

Jsou body A[0,0], B[3,1]. Urči souřadnice bodů C,D, které mají celočíselné souřadnice, aby byl obsah rovnoběžníku ABCD roven 1. Mám najít všechny řešení.

Bod D má souřadnice x,y.

Cili mám dva vektory: $\overrightarrow{AB}$ a $\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AB}=B-A=(3,1)$
$\overrightarrow{AD}=D-A=(0,0)$

Obsah je roven velikosti vektorového součinu: $S=\sqrt{9y^2+x^2}=1$

$9y^2+x^2=1$

ale jak dál? Díky

marnes · 26. 08. 2013 17:55

↑ Keeeeke:

mohu se zeptat, kde jsi došel k této informaci?

$\overrightarrow{AD}=D-A=(0,0)$ já jen že bod D hledáme.

Freedy · 26. 08. 2013 18:22 — Editoval Freedy (26. 08. 2013 18:23)

Máš pouze vektor jeden. Druhý musíš dohledat.
První vektor máš:
$\vec{u}=B-A = (3;1)$
druhý musíš najít:
$\vec{v}=D-A=(x;y)$
Tak a obsah robnoběžníku spočítáš pomocí vektorového součinu:
$\vec{u}=(3;1)$
$\vec{v}=(x;y)$
$\vec{u}*\vec{v}=(0;0;u_1v_2-u_2v_1)$ (když je to v rovině)
A velikost vektorového součinu je obsah rovnoběžníku
$9y^2+x^2=1$
Jelikož tato rovnice udáva rovnici elipsy, procházející celočíselnými body pouze (-1;0) (0;1), tak jsou řešení pouze tyto dva body.

Keeeeke · 26. 08. 2013 18:28

↑ marnes:
Pardon, pretukl jsem se.Mělo být $\vec{v}=D-A=(x;y)$

↑ Freedy:
Díky za uvahu!

marnes · 26. 08. 2013 18:33

↑ Freedy:
Já jen že když dosadím bod (0;1), tak to splněno nebude, ne? Nebo mi něco uniká?

Keeeeke

↑ marnes:
Bod se souradnicemi [1,0] muze byt bod D, ale i bod C.

Tudiz jedno reseni:

C[4,1]
D[1,0]

druhe reseni:

C[1,0]
D[-2,-1]

Bod se souřadnicemi [-1,0] muze byt take bod D i C.

C[2,1]
D[-1,0]

druhe reseni:

C[-1,0]
D[-4,-1]

Celkem 4 řešení. Je to tak?

marnes · 27. 08. 2013 07:59

↑ Keeeeke:
ano

buff · 27. 08. 2013 08:49

Hmm, zrovna včera jsem se díval na video, které toto popisovalo, bylo někde tady:

http://www.mathematicator.com/
ale musíš si to video najít sám. Bylo to tam vysvětleno dost dobře.

Matematické Fórum

#1 26. 08. 2013 15:27

Obsah rovnoběžníka

#2 26. 08. 2013 17:55

Re: Obsah rovnoběžníka

#3 26. 08. 2013 18:22 — Editoval Freedy (26. 08. 2013 18:23)

Re: Obsah rovnoběžníka

#4 26. 08. 2013 18:28

Re: Obsah rovnoběžníka

#5 26. 08. 2013 18:33

Re: Obsah rovnoběžníka

#6 26. 08. 2013 19:27 — Editoval Keeeeke (26. 08. 2013 19:44)

Re: Obsah rovnoběžníka

#7 27. 08. 2013 07:59

Re: Obsah rovnoběžníka

#8 27. 08. 2013 08:49

Re: Obsah rovnoběžníka

Zápatí