Matematické Fórum

Annmn · 27. 08. 2013 12:51

Dva míčky o hmotnostech $m_1$ a $m_2$ , kde $m_1 < m_2$ umístěné nad sebou tak, že
lehčí je nad těžším, pustíme na zem z výšky $h$ . Vypočítejte výšky $h_1$ a $h_2$ , do
kterých míčky po odrazu od země vyskočí. Pro jaký poměr hmotností vyskočí
lehčí míček nejvýše a jaká je tato výška? Předpokládejte přitom, že všechny
rázy jsou dokonale pružné, že rozměry míčků můžeme oproti výškám h, $h_1$ a
$h_2$ zanedbat a že jejich pohyb před a po odrazu probíhá podél přímky.

Nemám problém s tím, si situaci nějak představit. Mám problém s výpočtem. V nějakém bodě dělám chybu a nevím kde. Nikdy se nedostanu ke správné odpovědi. Chci poprosit, jestli by tu někdo nemohl rozepsat řešení. Zatím aspoň jak se dostat k výškám $h_1$ , $h_2$ . Ze všech různých kombinací rovnic s kinetickou energií a hybností se mi nedaří vyjádřit jednu nezávisle na druhé.

grizzlybear · 27. 08. 2013 17:15

Hodilo by se napsat, co vlastně víš. Nemusel bych se pak tolik namáhat v uvažování.
Nicméně, jak jsem si to představil (neříkám, že to je správně). Ten těžší míček se odrazí dřív než ten lehčí a půjde stejnou rychlostí proti němu. (tohle je předpoklad, nevím jak si jinak poradit s tím, že oba dopadnou "naráz"). V rovnicích se to projeví spíš zjednodušením situace, i když ani tak to nebude snadné.

Energie (před srážkou= po srážce)
$(m_{2}+m_{1})v^{2}=m_{2}V_{2}^{2}+m_{1}V_{1}^{2}$

Hybnost (před srážkou= po srážce)
- tady může vzniknout chyba ve znaménku. Musíme uvažovat vektorově, tj. jakým směrem to působí. Já považuju směr nahoru za kladný (co míří nahoru je s plusem).
$(m_{2}-m_{1})v=m_{2}V_{2}+m_{1}V_{1}$

Teď je třeba si v tom zmatku uvědomit, co je neznámá. Jsou to ty s velkými písmeny- tj. rychlosti. Rychlost v vlevo od rovnítka jde určit z potenciální energie. $v=\sqrt{2gh}$ .. To co je teď složité a do čeho se mi nechce je vyjádření jedné z rychlostí. Je nejspíš jedno kterou. A je asi rozumější spíš z rovnice hybnosti . Tj. $V_{1}= vyraz s V_{2}$ . To umocníš na druhou a dosadíš do energie. Tím ti vyjde v nejhorším kvadratická rovnice. Ale možná ne :) a bude lineární. Protože by ti mělo vyjít jednoznačné řešení. (kvadratická by mohla mít dvě).

Je možný, že existuje snazší řešení. Já ho ale nevidím.

Annmn · 27. 08. 2013 17:33

↑ grizzlybear: no ale potřebuji $v_1$ a $v_2$ nezávisle na sobě. To je právě to. Dostanu rovnici kin. energie a hybnosti a z nich se má dojít k vyjádření rychlostí nezávisle na sobě, ale mně to nikdy nevyjde. Potřebuji vědět postup, jakým tu soustavu rovnic řešit. Když si vyjádřím $m_1v_1$ z rovnice hybností a dosadím do rovnice kin. energie, vyjde mi, že $v_2 = -V$ , což je úplně špatně.

zdenek1 · 27. 08. 2013 20:00

↑ Annmn:
Vyjdeme z rovnic od ↑ grizzlybear:, jen si hledané rychlosti označím $x=V_2$ a $y=V_1$ , abych se nemusel babrat s indexy
$\begin{cases}(m_2+m_1)v^2=m_2x^2+m_1y^2\\(m_2-m_1)v=m_2x+m_1y\end{cases}$
malý trik: protože hledáme poměr hmotností, tak si ho přímo zavedeme jako parametr
$\mu=\frac{m_1}{m_2}$ podle podmínek zadání je $0<\mu<1$
Nyní obě rovnice vydělíme $m_2$ a dostaneme
$\begin{cases}(1+\mu)v^2=x^2+\mu y^2\\(1-\mu)v=x+\mu y\end{cases}$
Z druhé rovnice je
$x=(1-\mu)v-\mu y$ a dosadíme do první
$(1+\mu )v^2=[(1-\mu)v-\mu y]^2+\mu y^2$
$(1+\mu )v^2=(1-\mu)^2v^2-2\mu(1-\mu)v y+\mu^2y^2+\mu y^2$
$(\mu^2+\mu)y^2-2\mu(1-\mu)vy+(\mu^2-3\mu)v^2=0$
Tohle je normální kvadratická rovnice pro $y$ , kterou vyřešíme
$\frac D4=\mu^2(1-\mu)^2v^2-\mu(1+\mu)(\mu^2-3\mu)v^2=4\mu^2v^2$
$y=\frac{\mu(1-\mu)v\pm2\mu v}{\mu(1+\mu)}=\frac{1-\mu\pm2}{1+\mu}v$
Protože chceme, aby rychlost byla kladná (to je směr nahoru), bude vyhovovat jen řešení s $+$
$y=\frac{3-\mu}{1+\mu}v$
$x=(1-\mu)v-\mu\frac{3-\mu}{\mu+1}v=\frac{1-3\mu}{\mu+1}v$

grizzlybear · 27. 08. 2013 23:43

Plet jsem se v tom, že kvadratická rovnice dává principiálně špatný výsledek. Ten výsledek, co jsme zavrhli: "záporná rychlost" Je vlastně rychlost před srážkou. y=-v (první těleso padá dolů rychlostí v). Ke všemu překvapení rychlost x=v tj. těleso letí nahoru. Tobě se nějakým způsobem podařilo dojít k řešení, i když neužitečnému.
Nicméně i tak mám pocit, že je někde chyba- ve výrazu pro y těžko najdeme extrém. Mě na první pohled přijde, že maximum je pro mí=0, což je nefyzikální y=3v. Druhý kraj je mí=1 y=2/2v=v. Funkce je pro mu klesající, tj. nemá extrém.
Pokud jsme neudělali chybu (a nejspíš ne), máme to správně spočítáno, ale odpověď není konkrétní- tj. čím lehčí m1, tím větší získá rychlost a tím výš vyskočí. (s hrůzou dalšího počítání dodávám: po prvním odrazu- úloze by odpovídalo, že se můžou odrazit víckrát).

Ale stejně ještě nevím, jestli ta moje počáteční rychlost v- je správně (obecně by mohli být jakékoliv, aby kynetická energie míčků dávala potenciální energii na začátku). K snazšímu vyřešení by se hodilo znát výsledek. :)

Nevím, jestli ti moje řeči pomohly, ale to zdenkovo mi přijde pochopitelný, byť nevím, jestli je správný ten můj začátek.

Jj · 28. 08. 2013 09:21

grizzlybear napsal(a):
K snazšímu vyřešení by se hodilo znát výsledek. :)

Viz http://fyzika.feld.cvut.cz/~cervenka/vy … iklady.pdf

Příklad 5.3 - výsledky na konci materiálu

Matematické Fórum

#1 27. 08. 2013 12:51

Dvě padající koule

#2 27. 08. 2013 17:15

Re: Dvě padající koule

#3 27. 08. 2013 17:33

Re: Dvě padající koule

#4 27. 08. 2013 20:00

Re: Dvě padající koule

#5 27. 08. 2013 23:43

Re: Dvě padající koule

#6 28. 08. 2013 09:21

Re: Dvě padající koule

grizzlybear napsal(a):

Zápatí