Matematické Fórum

N3st4 · 29. 08. 2013 15:39

Ahoj.

Neviem sa rozhodnúť či daná funkcia je transformácia priestoru v požadovanom zmysle, vysvetlím ...

Definujme si Galileov priestor GP nasledovne:

- je to afinný priestor $A^{4}$ so štruktúrou vekt. priestoru $\mathbb{R}^{4}$
- na tom vekt. priestore $\mathbb{R}^{4}$ je definované lineárne zobrazenie $t:\mathbb{R}^{4} \mapsto \mathbb{R}$ , kde $\mathbb{R}$ je prvá koordináta vektoru z $\mathbb{R} ^4$

Body z $\mathbb{R} ^4$ si môžeme predstaviť ako (T,x,y,z), kde T je čas a zvyšok sú priestorové koordináty.

Body $a,b\in A^{4}$ ktoré splňujú rovnosť t(a-b)=0 nazveme súčasné. Je zrejmé, že tieto body tvoria podpriestor $A^3\subset A^4$ .

- pre $a,b \in A^3$ definujeme vzdialenosť $\delta (a,b)=\sqrt{(a-b,a-b)}$ , kde (,) je štandardný skalárny súčin v $E^3$ .

Týmto sme definovali Galileov priestor GP.
Teda ide o obyčajný afinný euklidov priestor, ktorý je vybavený lineárnym zobrazením (niečo ako projekcia na 1. zložku). Navyše v podpriestore súčasných bodov môžeme merať vzdialenosť.

Galileovu transformáciu definujme ako zobrazenie $Q:GP\mapsto A^4$ , ktorá zachováva štruktúru Galileovho priestoru.

Napr. posunutie, otočenie. Dôvod prečo posunutie a otočenie zachováva štruktúru GP je ten, že:
- posunutie a otočenie afinného priestoru je znovu af. pr.
- zachováva lineárne zobrazenie t
- súčasné body majú rovnakú vzdialenosť pri posunutí aj otočení

Majme zobrazenie $g:GP\mapsto A^4$ , $g(t,x)=(t,x+vt)$ , kde t je prvá súradnica a x je vektor zvyšných troch.
Toto zobrazenie je tiež galileova transformácia.
Moja otázka znie: Je aj toto galileova transformácia? (prečo)
$h(t,x)=(t,x+vt^2)$ alebo všeobecnejšie $h(t,x)=(t,x+vt^n)$

Rumburak

↑ N3st4:

Ahoj.

Tuto teorii vidím poprvé, nicméně odhaduji, že nutnou podmínkou k tomu, aby zobrazení bylo GT, je jeho linearita
(až na posunutí). Ale je to jen nápad.

Matematické Fórum

#1 29. 08. 2013 15:39

Transformácia priestoru

#2 29. 08. 2013 15:54 — Editoval Rumburak (29. 08. 2013 15:59)

Re: Transformácia priestoru

Zápatí