Matematické Fórum

Terusanet

Ahoj, řeším tu tento příklad: Dokažte $1^{2}+2^{2}+.....+n^{2}=\frac{n.(n+1).(2n+1)}{6}$ akorát jsem se zasekla před koncem patrně u ekvivalent. úprav. Můj postup: 1) pro n=1 výrok platí neboť 1=6/6 (což je 1)
2) teď důkaz mat. indukcí: Předpoklad: $1^{2}+2^{2}+....k^{2}=\frac{k.(k+1).(2k+1)}{6}$
Důkaz mat. indukcí pro n=k+1
Levá strana: 1 $1^{2}+2^{2}+...k^{2}+(k+1)^{2}$

$\frac{k.(k+1).(2k+1)}{6} + (k+1)^{2}$

Teď levá i pravá strana: $\frac{k.(k+1).(2k+1)+6(k+1)^{2}}{6} = \frac{(k+1).(k+2).(2k+3)}{6}$
Noo a tady už nevím jak dál :( Děkuji tedy za každou pomoc :-)

check_drummer · 13. 09. 2013 19:06

↑ Terusanet:
Ahoj, a co tedy chceš v bodě 2 vlastně dokázat?

K.J. · 13. 09. 2013 19:08 — Editoval K.J. (13. 09. 2013 19:10)

No celou rovnici vynásobit 6, zmizí ti jmenovatel, a potom roznásobit: $(k^{2}+k)\cdot (2k+1)+6(k^{2}+2k+1)=(k^2+3k+2)(2k+3)$ ...atd.....stačí ověřit tuto rovnost.

Terusanet · 13. 09. 2013 19:13

↑ check_drummer: Chci dokázat, že když to platí pro k, tak to platil i pro k+1

Terusanet · 13. 09. 2013 19:20

Nojó vlastně...Děkuju moc. ↑ K.J.:

check_drummer · 15. 09. 2013 22:10

↑ Terusanet:
... Jinými slovy, že ta suma je rovna $\frac{(k+1).(k+2).(2(k+1)+1)}{6}$ . Což už jsi ale dokázala - stačí jen upravit 2(k+1)+1 na 2k+3...

Matematické Fórum

#1 13. 09. 2013 18:54 — Editoval Terusanet (13. 09. 2013 18:56)

Matematická indukce - důkaz

#2 13. 09. 2013 19:06

Re: Matematická indukce - důkaz

#3 13. 09. 2013 19:08 — Editoval K.J. (13. 09. 2013 19:10)

Re: Matematická indukce - důkaz

#4 13. 09. 2013 19:13

Re: Matematická indukce - důkaz

#5 13. 09. 2013 19:20

Re: Matematická indukce - důkaz

#6 15. 09. 2013 22:10

Re: Matematická indukce - důkaz

Zápatí