Matematické Fórum

panter3d · 16. 09. 2013 21:23

dobrý den, mám příklad:

čtyři kuličky očíslované 1,2,3,4 se mají umístit do čtyř přihrádek očíslovaných 1,2,3,4, do každé přihrádky jedna. sestavte množinu výsledků pokusu.

úkol: kolik je výsledků příznivých jevu "číslo žádné kuličky nesouhlasí s číslem její přihrádky"?

já jsem si napsal všech 24 možností (1,2,3,4 1,2,4,3 1,3,2,4 .....) a vyškrtal jsem si 9 kombinací (správně i podle výsledků) jenom nevím, jak to napsat trochu víc matematicky :D, poradíte?

vanok · 16. 09. 2013 21:51

Ahoj ↑ panter3d:,
Tvoje riesenie je dokonale.
Ak chces mozes pracovat takto ( doplnkove situacia):
Uvazovat vsetky situacie kde je spolocne presne 1 cislo
Potom presne 2 cisla
presne 3 cisla( tento pripad nenastane)
a nakoniec presne 4 cisla.
Spocitat kolko je do kopy takych pripadov. Odpocitanie od 24 da tiez dobry vysledok.

panter3d · 16. 09. 2013 22:18

takto jsem taky postupoval, jenom pořád nevím, jak to mám napsat

dá se to brát jako variace s opakováním? jediný k čemu jsem dopracoval je, že celkový počet možností je 4! :/

byk7 · 16. 09. 2013 23:06

Ber to jako kombinatorické pravidlo součtu :)

1) Je společné právě jedno číslo
- 4 způsoby vyberu společné číslo, řekněme, že je to jedna
- mám tři přihrádky a tři kuličky (tj. s čísly 2, 3, 4), přičemž žádná nemá být v přihrádce se stejným číslem
- do přihrádky č. 2 mám dvě možnosti, do přihrádek č. 3 a 4 pak už mám jen jednu možnost, jak dosáhnout požadovaného umístění
- počet případů, kdy je společné právě jedno číslo je tedy $p_1=4\cdot2=8$

2) Jsou společná právě dvě čísla
-
$\binom{4}{2}=6$
způsoby vyberu dvě přihrádky, kde budou stejná čísla, na zbylé dvě už zbývá pouze jedna možnost
- proto je $p_2=6$

3) Jsou společná právě tři čísla
- sám si rozmysli, že takové rozdělení neexistuje, proto je $p_3=0$

4) Jsou společná právě čtyři čísla
- je jasné, že jen jedna možnost, tj. $p_4=1$

Počet všech špatných rozdělení tedy je (podle kombinatorického pravidla součtu) $p_1+p_2+p_3+p_4=15$
Počet vyhovujících rozdělení je roven rozdílu počtu všech rozdělení a počtu špatných rozdělení, proto je hledaný počet $4!-15=9$ .

Víc matematičtěji už to asi nezvládnu. :-)