Matematické Fórum

Mirgeee · 21. 09. 2013 22:02

Ahoj, jak by se řešil takovýto příklad?

Pro která a má rovnice $cos\sqrt{a-x^2} = 1$ právě osm řešení?

Díky

Freedy · 21. 09. 2013 22:32 — Editoval Freedy (21. 09. 2013 22:51)

:-p lépe vysvětleno od kolegy níže. Smekám.

vytautas

↑ Freedy:
zdravím
postup je dobrý, len $cos x =1$ len v $2k\pi$

Edit: opravené, už je to správne :)

byk7 · 21. 09. 2013 22:50

Kosinus nabývá hodnoty 1, když je jeho argument roven $2k\pi$ pro celé $k$ .
Platí tedy $2k\pi=\sqrt{a-x^2}$ , odmocnina je vždy nezáporná, takže platí $k\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ a $a\ge x^2\ge0$ . Po umocnění máme $4k^2\pi^2=a-x^2\ \Rightarrow\ |x|=\sqrt{a-4k^2\pi^2}$ . Tato rovnice bude mít 8 řešení, když budeme mít čtyři možné výsledky odmocniny, kdyby ale byl výsledek odmocniny 0, dostaneme jen jeden kořen, proto musí platit $a\gneq4k^2\pi^2$ . Aby odmocnina nabývala právě čtyř hodnot, musí být $k\in\{0,1,2,3\}$ tedy $a>36\pi^2$ , hodnota $a$ ale zas nemůže převýšit hodnotu $4\cdot4^2\cdot\pi^2=64\pi^2$ .

Zadaná rovnice tedy bude mít právě 8 řešení, když
$\large\color{blue}\boldsymbol{a\in$36\pi^2,64\pi^2$}.$