Matematické Fórum

Karollka · 22. 09. 2013 12:39

Vypočítejte obvod O a obsah S pravidelného sedmiúhelníku,je-li velikost nejkratší úhlopříčky u= 24cm.
(Výsledek má vyjít O= 93,23 cm a S= 644,6 cm2)
Děkuji předem za odpověď.

Freedy · 22. 09. 2013 12:45

Pokud si označíš sedmiúhelník ABCDEFG tak jsou to uhlopříčky AC, BD, CE, DF, EG, GB.
Nakresli si například trojúhelník ABC a vzdálenost AC je 24 cm.
Úhel při vrcholu pravidelného n-úhelníku je $\varphi =\frac{(n-2)*180}{n}$ (pokud počítáš ve stupních)
Teď snadno spočítáš stranu daného sedmiúhelniku přes pythagorovu větu.

Máš stranu a. Teď už stačí dopočítat vzdálenost středu od vrcholu. Znáš stranu "a" a úhel při vrcholu je 360/7. Opět přes pythagorovu větu dopočítáš "r" které potřebuješ k vypočítání obsahu.
$S=\frac{7}{2}r^2\sin \frac{2\pi }{7}$

Karollka · 22. 09. 2013 13:22

↑ Freedy:

Jak přijdu na tu stranu "a"? Co mám dosadit do té pythagorovy věty ?

Freedy · 22. 09. 2013 13:43

//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-09/50185_sedmi%25C3%25BAhelnik.png

Karollka · 22. 09. 2013 14:26

↑ Freedy:

Super děkuju a teď prosím,jak dopočítám to "r" ?
Vím,že pythagorovou větou ..znám "b" a potom už nevím jak dál

Freedy · 22. 09. 2013 14:32

Vezmi si například trojúhelník ABH. Strana a =b=c=d... to je ta strana co sis teď spočítala. Úhel při vrcholu je 360/7 takže zase si to rozděl na 2 pravoúhlé trojúhelníky a stejný postup

Karollka · 22. 09. 2013 14:50

↑ Freedy:

Takže rozdělila jsem si to na 2 pravoúhlé torjúhelníky poloměr mi vyšel 26,8 jestli jsem teda dobře počítala
a obsah by měl tedy vypadat takto : S=3,5*718,24*sin*0,897 ? to mi,ale nevyjde asi jsem někde udělala zase chybu

byk7 · 22. 09. 2013 16:18

Navrhl bych trošku jiný postup využívající kosinovou větu.
V trojúhelníku ↑ ABC: platí $a=b$ , z kosinové věty tak dostáváme
$h^2=2a^2$1-\cos\(\frac{5\pi}{7}$\)\ \Rightarrow\ a=\frac{h}{\sqrt{2\big(1-\cos(5\pi/7)\big)}\,}\ \Rightarrow\ o=7a=\frac{7h}{\sqrt{2\big(1-\cos(5\pi/7)\big)}\,}$ .

Nyní k obsahu, je vidět, že stačí spočítat obsah trojúhelníku ↑ ABH: a výsledek vynásobit sedmi.
Ze sinové věty pro tento trojúhelník dostáváme
$\frac{a}{\sin|\sphericalangle AHB|}=\frac{|AH|}{\sin|\sphericalangle ABH|}$
odkud
$|AH|=a\cdot\frac{\sin|\sphericalangle ABH|}{\sin|\sphericalangle AHB|}=\frac{h}{\sqrt{2\big(1-\cos(5\pi/7)\big)}\,}\cdot\frac{\sin(5\pi/14)}{\sin(2\pi/7)}$ .
Obsah trojúhelníku $ABH$ můžem spočítat třeba takto:
$S'&=\frac12\cdot|AH|\cdot|BH|\cdot\sin|\sphericalangle AHB|=\frac12|AH|^2\sin|\sphericalangle AHB|= \\ &=\frac12\cdot\frac{h^2}{2\big(1-\cos(5\pi/7)\big)}\cdot\frac{\sin^2(5\pi/14)}{\sin^2(2\pi/7)}\cdot\sin(2\pi/7)= \\ &=\frac{h^2\sin^2(5\pi/14)}{4\sin(2\pi/7)\big(1-\cos(5\pi/7)\big)}$ ,
takže
$S=7S'=\frac{7h^2\sin^2(5\pi/14)}{4\sin(2\pi/7)\big(1-\cos(5\pi/7)\big)}$ .

Karollka · 22. 09. 2013 17:23

↑ byk7:

A nešlo by to třeba jinak ? bez tý Kosinovy věty ? já jsem se ji zatím neučila
Potřebovala bych podrobný postup jak dojdu k výsledku děkuji :)

byk7 · 22. 09. 2013 18:05

↑ Karollka:

Šlo, ale goniometrickým funkcím se stejně nevyhneš. Zkus postupovat dál jako již už bylo ↑ naznačeno:. Jen místo zaokrouhleného výsledku 64,28° použij přesnou hodnotu úhlu, tj. (450/7)°.

Honzc · 23. 09. 2013 06:59 — Editoval Honzc (23. 09. 2013 07:24)

↑ Karollka:
Bez kosinové věty
Pro každý pravidelný n-úhelník platí:
$O=na$
$S=\frac{n}{4}\frac{a^{2}}{\text{tg}\frac{\pi }{n}}$
a dále pro úhel při vrcholu (úhel mezi sousedními stranami) $\varphi =\frac{n-2}{n}\pi$
Nyní si stačí (dle zadání) uvědomit, že (při označení strany a a nejkratší úhlopříčky u ) $\sin \frac{\varphi }{2}=\sin \frac{n-2}{2n}\pi =\frac{u}{2a}\Rightarrow a=\frac{u}{2\sin \frac{n-2}{2n}\pi }$
tedy $a=\frac{u}{2\sin \frac{n-2}{2n}\pi }=\frac{u}{2\cos \frac{\pi }{n}}$
Vzorečky se dají upravit (pro nejkratší úhlopříčku) na:
$O=\frac{n}{2}\frac{u}{\cos \frac{\pi }{n}}$
$S=\frac{n}{8}\frac{u^{2}}{\sin \frac{2\pi }{n}}$
Goniometrické funkce jsou počítány v radiánech. Pokud chceš počítat ve stupních, pak místo $\pi$ dosadíš $180^\circ$
Pro náš případ $n=7, u=24\;cm$ (dopočítáš sama)