Matematické Fórum

Hertas · 24. 09. 2013 14:01

ahoj, mám integrál: $\int_{}^{}[x]|sin\pi x|$
vůbec netuším jak začít, budu vděčnej za každou radu

Brano · 24. 09. 2013 14:24 — Editoval Brano (24. 09. 2013 14:26)

Je to vcelku pekny priklad, tak ti nechcem pokazit zazitok. Ako prvy krok vypocitaj

$\int_{n}^{n+y}[x]|\sin\pi x|dx$ pre $n\in\mathbb N$ a $y\in[0,1]$ .

Vyuzi to, ze $[x]$ sa tu da pekne vyjadrit a ze $|\sin\pi x|$ ma periodu $1$ . Potom ti poviem co dalej (ak to nebude jasne).

Hertas · 24. 09. 2013 17:47

jestli tomu dobře rozumím tak bych měl dostat $n\int_{n}^{n+y}|sin\pi x|$ , je to dobře? A pokud jo, pak nevím jak dál využít tý periody

Brano · 24. 09. 2013 18:35 — Editoval Brano (24. 09. 2013 18:40)

dalsi krok je teda bud substitucia $y=\pi x -\pi n$ , alebo kasli na substituciu a rozober pripady ked je
$n$ parne alebo neparne, potom mozes odstranit absolutnu hodnotu a rovno to zintegrovat.

Hertas · 24. 09. 2013 18:54 — Editoval Hertas (24. 09. 2013 18:55)

$n\int_{n}^{n+y}|sin\pi x|dx=\frac{n}{\pi }\int_{n}^{n+y}|sinu|du=[-\frac{n}{\pi }cos(u)sgn(sin(u))]=[-\frac{n}{\pi }cos(\pi x-n\pi )sgn(sin(\pi x-n\pi))]$ dobře a teď na celým intervalu?

Brano · 24. 09. 2013 20:03 — Editoval Brano (24. 09. 2013 21:44)

este treba podosadzat hranice a mal by si dostat
$\int_{n}^{n+y}[x]|\sin\pi x|dx=\frac{n}{\pi}(1-\cos(\pi y))$
toto vskutocnosti plati aj pre $n\in\mathbb Z$ (cize aj zaporne)
cize mas aj
$\int_{n}^{n+1}[x]|\sin\pi x|dx=\frac{2n}{\pi}$
a potom mozes vyratat pre $n\ge 0$
$\int_{0}^{n}[x]|\sin\pi x|dx=\frac{2}{\pi}(0+1+...+(n-1))=\frac{n(n-1)}{\pi}=:f(n)$
teraz vypocitame
$\int_0^{-n}[x]|\sin\pi x|dx=f(n+1)$
tam sa urobi substitucia $-x=t$ a vyuzije sa, ze pre skoro vsetky $t>0$ (t.j. take co niesu cele) plati $[-t]=-[t+1]$ , potom sa urobi substitucia $s=t+1$ a este sa tam vyuzije $f(1)=0$ .
Ale mozme si vsimnut, ze $f(-n)=f(n+1)$ a teda pre lubovolne $n\in\mathbb Z$ mame
$\int_0^n [x]|\sin\pi x|dx=f(n)$

teraz nech $\{z\}=z-[z]$ je desatinna cast $z$ , teda $\{z\}\in[0,1)$ cize plati
$\int_0^z [x]|\sin\pi x|dx=\int_0^{[z]} [x]|\sin\pi x|dx+\int_{[z]}^{[z]+\{z\}} [x]|\sin\pi x|dx=$
$=\frac{[z]([z]-1)}{\pi}+\frac{[z]}{\pi}\Big(1-\cos(\pi\{z\})\Big)=\frac{[z]}{\pi}\Big([z]-\cos(\pi\{z\})\Big)$

a teda neurcity integral je

$\int [x]|\sin\pi x|dx=\frac{[x]}{\pi}\Big([x]-\cos(\pi\{x\})\Big)+C=\frac{[x]}{\pi}\Big([x]-(-1)^{[x]}\cos\pi x\Big)+C$