Matematické Fórum

Strabon · 25. 09. 2013 18:36

Prosím o radu s rovnicí, zadání je takové: urči kořeny rovnice: x5-x4+x3-x2+x-1=0

Řešili jsme to ve škole, ale bohužel jsem to nepochopil... Učitel se zmiňoval něco o reciproké rovnici... nevím co to je a z různých stránek jsem to moc nepochopil, kdyby by mi někdo napsal postup a nějaké vysvětlení co to ta reciproká rovnice vlastně je byl bych vděčný... Klidně zaslat na email naskenovaný řešení ...

email: Josefmares94@seznam.cz

Děkuji za jakoukoliv ochotu mi pomoct.

vanok · 25. 09. 2013 19:00 — Editoval vanok (26. 09. 2013 12:22)

↑ Strabon:?
Tu nejde o reciprocnu rovnicu!
No ale sa da jednoducho vyriesit.
Najprv poznamenaj, ze
$x^5-x^4+x^3-x^2+x-1=x^4(x-1)+x^2(x-1)+(x-1)=( x^4+x^2+1)(x-1)$
To ti da jednej jej koren $x_1=1$
À na jej doriesenie staci vyriesit bikvadraticku rovnicu $x^4+x^2+1=0$ ( alebo presnejsie povedane ukazat ze nema realne korene)

Navod : ukazes ze $x^4+x^2+1>0$ pre vsetki realne x, co dokazuje, ze najdena rovnica nema ziadne realne riesenie.
Cize rovnica dana na zaciatku ma jedinne riesenie, $x_1=1$ .

Ak nahodou chces najst komplexne riesenia, mozes polozit $X=x^2$ a potom pokracovat podobnym sposobom. . .
Pozor to nie je v stredoskolskych programoch.

Édit: oprava preklepu vdaka kolegovy Honz

Eratosthenes · 25. 09. 2013 19:11

↑ Strabon:

Ahoj,

reciproká rovnice to samozřejmě je a lze ji i "recipročně" řešit. Protože je tady ale speciálně

$|a_n|=|a_{n_1}|=...=|a_0|$

lze ji řešit i "nerecipročně" tak, jak t předvedl ↑ vanok: (a je to i jednodušší).

Brano · 25. 09. 2013 19:16 — Editoval Brano (25. 09. 2013 19:19)

↑ vanok:
My sme sa ucili, ze aj polynomu ktory splna $a_{n-k}=-a_k$ sa hovory reciprocny, aj ked na wiki som nasiel iba taky co splna $a_{n-k}=a_k$ .
Ten prvy pripad (antisymetricky) je ale ocividne trivialny, lebo je hned vidiet, ze ma koren 1 a da sa teda faktorizovat; mozno preto sa obvykle neuvazuje.

↑ Eratosthenes: aby som sa teda zastal vanka, je dost mozne, ze on pozna takuto definiciu.

vanok · 25. 09. 2013 19:38 — Editoval vanok (25. 09. 2013 19:47)

Ahoj ↑ Brano:,
Asi je to zasa otazka terminologie.
No vsak z definiciu o akej pise kolega ↑ Eratosthenes: som nikdy nevidel.
Ale na strednej skole (aspon sa mi zda) sa povazuju za reciprocne polynomy len tie parneho stupna... a to definovane ako si napisal vyssie↑ Brano: ( to asi aj preto, ze sa na riesenie polynomialnych rovnic P(x)=0, z takou funkciou na lavo, sa da pouzit substitucia $X=x+ \frac 1x$ )

Edit:
maly doplnok, tu http://mathworld.wolfram.com/ReciprocalPolynomial.html
je jedna definicia reciprocnych polynomov ( ale nie pre stredoskolakov) a je mozne ze niektory autory pouzivaju pojem reciprocnej rovnice P(x)=0, ak na ich lavej strane je auto-reciprocny polynom.

Strabon · 26. 09. 2013 05:40

Děkuju za radu :)

Chybí mi tak trošku základy :D Možná se zeptám hloupě....

Když dělím celou rovnici (x-1) automaticky můžu soudit, že daná rovnice má kořen nulovýho bodu té operace v tomto případě x=1 ??

Jo a pak to normálně mohu provést přes substituci jak bylo psáno vejš a vyjde mi záporný diskriminant => rovnice má jen jedno řešení...

Tak nechápu proč nás tam pletl s reciprokou rovnicí... Jsem takovýto pojem slyšel poprvý :D

Ještě jednou děkuju

Strabon · 26. 09. 2013 05:48

Ještě se zeptám hloupě zjistím že polynom je reciproký, ale co mi to vlastně říká, má to nějeké speciální vyjímky nebo operace co s tím polynomem můžu dělat ??

Honzc · 26. 09. 2013 08:11 — Editoval Honzc (26. 09. 2013 08:36)

↑ Strabon:
Trochu teorie:
Reciprokými rovnicemi nazýváme rovvnice tvaru:
$a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}=0$
kde a) $a_{i}=a_{n-i} (i=0,1,...n)$ (kladně reciproká rovnice)
b) $a_{i}=-a_{n-i} (i=0,1,...n)$ (záporně reciproká rovnice)
Pak platí:
1.Každá kladně reciproká rovnice lichého stupně a každá záporně reciproká rovnice sudého stupně má kořen -1.
2.Každá záporně reciproká rovnice má kořen +1.
My máme případ 2.
Dále platí:
3.Odstraníme-li z reciproké rovnice možné kořenové činitele tvaru x-1,x+1 (a ty odstraníme dělením r.r. těmito činiteli), zůstane kladně reciproká rovnice sudého stupně
$a_{0}x^{2m}+a_{1}x^{2m-1}+...+a_{m}x^{m}+...+a_{0}=0$
z níž dělením $x^{m}$ dostaneme
$a_{0}(x^{m}+\frac{1}{x^{m}})+a_{1}(x^{m-1}+\frac{1}{x^{m-1}})+...+a_{m-1}(x+\frac{1}{x})+a_{m}=0$
Substitucí $x+\frac{1}{x}=y$ můžeme všechny dvojčleny vyjádřit jako mnohočleny v y, dostaneme tak rovnici m-tého stupně pro y, kterou už v některých případech můžeme pohodlně řešit.

↑ vanok:
Zdravím,
neměla by ta bikvadratická rovnice $x^4-x^2+1=0$ být spíš $x^4+x^2+1=0$