Matematické Fórum

Phill · 26. 09. 2013 20:00

Mám určit obecné řešení Bernoulliho diff. rovnice:
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{dx} }=\frac{y^{2}+81}{18y(x^{2}+2x-80)}$
Nechci celé řešení, jen nakopnout jak začít, jak ji převést do "standartního tvaru" :). Dík.

Hanis · 26. 09. 2013 20:04

Ahoj,
půjde to separovat, tedy stačí obě strany vynásobit výrazem $\frac{18y dx}{y^2+81}$

Phill · 28. 09. 2013 14:45

Snažím se řešit tuto rovnici podle vzorového postupu ze skript
$y\prime=\frac{y^{2}}{18y(x^{2}+2x-80)}+\frac{9}{2y(x^{2}+2x-80)}$
1. řeším homogenní lineární rovnici
$y\prime=\frac{y^{2}}{18y(x^{2}+2x-80)}=\frac{y}{18(x^{2}+2x-80)}$
$\int_{}^{}\frac{dy}{y}=\int_{}^{}\frac{dx}{18(x^{2}+2x-80)}$
$\ln |y|=\frac{1}{324}(\ln |x-8|-\ln |x+10|)+\ln |c|$
$\frac{y}{C}=(\frac{x-8}{x+10})^{\frac{1}{324}}\Rightarrow y=C(\frac{x-8}{x+10})^{\frac{1}{324}}$
2. dosadím do původní rovnice, atd......
Jen sem chtěl zkontrolovat jestli nevyrábím nějaký složitý postupy páč po dosazení do původní rovnice to vůbec nevypadá hezky :)
Dík předem.

Jj · 28. 09. 2013 15:13

↑ Phill:

Myslím, že opravdu 'vyrábíte' složitý postup. Jak uvedl kolega ↑ Hanis:, jedná se o separovatelnou diferenciální rovnici, uvedl i návod na řešení:

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{dx} }=\frac{y^{2}+81}{18y(x^{2}+2x-80)}$

Po vynásobení obou stran výrazem $\frac{18y dx}{y^2+81}$ dostanete:

$\frac{18y dy}{y^2+81}=\frac{dx}{x^{2}+2x-80}$

Zintegrujete obě strany rovnice a obdržíte řešení ve tvaru:
$\int \frac{18y dy}{y^2+81}=\int \frac{dx}{x^{2}+2x-80} + Const$

Pokud jsem se někde nezmýlil.

Phill · 28. 09. 2013 16:14

OK, jen se pozastavuji nad tím, že v zadání je, Bernoulliho dif. rovnice. Předpokládal sem, že bude vyžadován specifický postup řešení. Každopádně děkuji za rady.

Jj · 28. 09. 2013 17:10

$↑ Phill:

Rovnice je tvaru Bernoulliovy rovnice a určitě ji lze řešit obecnými postupy pro řešení tohoto typu rovnic. Tyto postupy jsou (aspoň pokud je mi známo) poněkud jiné, než jste zvolil (viz např. http://cs.wikipedia.org/wiki/Bernoulliova_rovnice).

Lze-li ve speciálním případě zvolit jednodušší postup (a v tomto případě myslím výrazně jednodušší), tak předpokládám, že není důvod jej nepoužít.

Matematické Fórum

#1 26. 09. 2013 20:00

Bernoulliho diff rovnice

#2 26. 09. 2013 20:04

Re: Bernoulliho diff rovnice

#3 28. 09. 2013 14:45

Re: Bernoulliho diff rovnice

#4 28. 09. 2013 15:13

Re: Bernoulliho diff rovnice

#5 28. 09. 2013 16:14

Re: Bernoulliho diff rovnice

#6 28. 09. 2013 17:10

Re: Bernoulliho diff rovnice

Zápatí