Matematické Fórum

umrlec · 29. 01. 2009 18:37

Omlouvám se, já vím, že jsem strašně otravný, ale ještě bych potřeboval nakopnout s tímto:

je dána matice A =

1 1 1 2 1
2 3 1 -1 2
0 1 3 -1 0

a úkoly zní takto:
a) Najděte všechny vektory v z R_5 (proč je ta pětka na dolním indexu O_o?) pro které platí A*v^T = o^T

to o je nulový vektor, ... to ^T by podle mě mělo znamenat transponování, ale jak transponovat nulový vektor? A vektor vůbec? Tak, že to napíšu do řádku, místo do sloupce?

b) Ukažte, že tyto vektory tvoří podprostor R_5 dimenze 2.
- tak to taky netuším co s tím :X

musixx · 30. 01. 2009 10:19 — Editoval musixx (30. 01. 2009 10:21)

↑ umrlec: ${\mathbb R}_5$ znamena, ze hledany vektor bude mit 5 slozek, treba $x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ . Transponovat vektor opravdu znamena jej psat misto do radku do sloupce.

Mame tedy resit maticovou rovnici $\begin{pmatrix}1&1&1&2&1\nl2&3&1&-1&2\nl0&1&3&-1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\nlx_2\nlx_3\nlx_4\nlx_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\nl0\nl0\nl0\nl0\end{pmatrix}$ . To je totez jako resit tento system linearnich rovnic (s neznamymi $x_i$ ):

$\begin{pmatrix}1&1&1&2&1&|&0\nl2&3&1&-1&2&|&0\nl0&1&3&-1&0&|&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&1&2&1&|&0\nl0&1&-1&-5&0&|&0\nl0&1&3&-1&0&|&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&1&2&1&|&0\nl0&1&-1&-5&0&|&0\nl0&0&4&4&0&|&0\end{pmatrix}$ ,

coz nam dava
$x_5=t$
$x_4=u$
$x_3=-x_4=-u$
$x_2=5x_4+x_3=4u$
$x_1=-x_5-2x_4-x_3-x_2=-t-5u$

z cehoz $x=\begin{pmatrix}-t-5u\nl4u\nl-u\nlu\nlt\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\nl0\nl0\nl0\nl1\end{pmatrix}\cdot t+\begin{pmatrix}-5\nl4\nl-1\nl1\nl0\end{pmatrix}\cdot u$ ,

odkud je videt, ze opravdu vsechny vyhovujici vektory x tvori vektorovy podprostor (v ${\mathbb R_5$ ) dimenze 2 (jako vedlejsi efekt jsme dokonce nasli bazi tohoto podprostoru). Pokud jsem se teda nekde numericky nesekl, tak by to melo byt takto spravne. :-)

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2009 18:37

Vektory

#2 30. 01. 2009 10:19 — Editoval musixx (30. 01. 2009 10:21)

Re: Vektory

Zápatí