Matematické Fórum

Brano · 01. 10. 2013 15:24

este mozno trosku iny pohlad pridam, aj ken v podstate nepoviem nic ine ako uz bolo povedane.

Nie je problem povedat, ze "nekonecny sucin jednotiek je jednotka" a to sa aj da zapisat, napr. tak ako to uviedol ↑↑ Rumburak:.
$\prod_{k =1}^{\infty}1 = 1$

Problem je povedat "vyraz $1^\infty$ je nekonecny sucin jednotiek". Povodne sa zadefinuje, ze
$x^y=\underbrace{x\cdot ... \cdot x}_{y\text{ krat}}$
ale to ma zmysel iba pre celociselne $y$ . Takze taka definicia sa neskor opusti a zadafinuje sa
$x^y=\exp(y\ln(x))$ kde $\exp$ sa definuje napr. radom a $\ln$ ako inverzna fcia a overi sa, ze pre celociselne exponenty to sedi s povodnou.

A ako je to pre $x^\infty$ . Podla povodnej by si mohol zobrat, ze to je
$x^\infty=\underbrace{x\cdot ... \cdot x}_{\infty\text{ krat}}$
co by pre $x=1$ dalo vysledok jedna, ale ta nasa druha "lepsia definicia" s tym uz velmi nesuhlasi
$x^\infty=\exp(\infty\ln(x))$
co je fajn pre $x\not=1$ , ale pre $x=1$ dostanes v argumente $\exp$ vyraz $\infty\cdot 0$ ktory zrejme za problematicky povazujes aj ty. (Aj ked aj tam by sa dalo trvat na tom, ze sucet nekonecne vela nul je nula.) Takze sa to radsej nechava ako nedefinovane.

V podstate by si ten vyraz mohol definovat uplne akokolvek, napr. aj $1^\infty=-\pi$ . Ide o to, ze ked robis nejaku definiciu, tak chces, aby sa potom pocitanie pomocou nej chovalo nejak vhodne intuitivne. Napr. limity pomocou dosadzovania, by sa s takouto definiciou pocitat nedali.

kryštof · 01. 10. 2013 18:42

↑↑ Eratosthenes:
Jasně že můžeš třeba sečíst všechny členy posloupnosti $a_n=(0,5)^{n-1}$ a dostat $2$ , ale to přeci není „obyčejný“ součet v tom smyslu, že je to $\lim_{n\to\infty }(1\cdot \frac{(\frac{1}{2})^n-1}{\frac{1}{2}-1})=2$ , nebo mi chceš říct, že jsem celou tu věc s řadama pochopil úplně špatně? (to by mě nakonec ani nepřekvapilo)

Brano · 01. 10. 2013 20:56 — Editoval Brano (01. 10. 2013 21:01)

↑ kryštof:
mas pravdu, nie je to "obycajny sucet" ale je rozumne povedat ze to je zovseobcnenie suctu. Ale treba si dat pozor, v niektorych pripadoch je ten sucet napr. nekomutativny. Vtedy ked je ten rad konvergentny ale nie absolutne konvergentny.

Takze nie vsetko co je intuitivne v konecnom sucte prejde aj na ten nekonecny.

Matematické Fórum

#26 01. 10. 2013 15:24

Re: 1 na nekonečno?

#27 01. 10. 2013 18:42

Re: 1 na nekonečno?

#28 01. 10. 2013 20:56 — Editoval Brano (01. 10. 2013 21:01)

Re: 1 na nekonečno?

Zápatí