Matematické Fórum

smajdalf · 06. 10. 2013 10:36

Ahoj všem,
potřeboval bych poradit s jedním příkladem, pořád nevím kde dělám chybu, že mi to nechce vycházet.

Tady je zadání (je to příklad pro základní školu, konkrétně se jedná o příklad na společnou práci :-)

"Pět dělníků pracuje na zateplení domu takovým tempem, že by mohli mít práci hotovou za 18 dnů.
Po třech dnech práce dva dělníky odvolali na jinou stavbu. Za kolik dnů nyní dělníci dokončí práci?"

Já jsem na to šel přes tempo, kterým pracuje těch 5 dělníků, tedy každý den makají 100% tempem tak, aby to za těch 18 dní stihli. Tzn. první tři dny jedou na 100%, od 4. dne už na to budou jen tři, tedy jejich tempo klesne (vzhledem k původnímu plánu) na $\frac{3}{5} = 60 \, \%$ . Tzn. každý den naberou 40% zpoždění, takže na konci 18. dne místo aby měli hotovo, bude jim chybět ještě $15 \cdot 0,4 = 6 \ \text{dní}$ (to je zpoždění, které naberou za těch 15 dní, které odpracují pouze ve třech lidech).

//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-10/47702_20131006_100913.jpg

Výsledek je zřejmý z obrázku. Vyšlo mi, že ty tři dělníci budou muset navrch makat ještě dalších 6 dní, aby práci dodělali, tedy celkem $\text{24 dní}$ .

To je ale podle výsledků špatně. Ne o moc :rolleyes: ale přece ...

Vím, že tu jsou (na fóru) velmi podobné příklady a už jsem je i procházel, ale takto řešené jsem neobjevil.
Jde mi o to, jestli by někdo nenašel chybu v mých úvahách.

Díky všem účastníkům :)

P.S.: Nevíte někdo, jak si zapnout smajlíky?

jelena · 06. 10. 2013 11:00

Zdravím,

je to takový netradiční přístup (předpokládám, že standard na společnou práci znáš, nebo jis našel zde na fóru). Použila bych takové dokončení úvahy:

pokud by pracovali na 100%, prací dokončí za 15 dnů,
jelikož pracuji na 60 %, prací dokončí za ? dnů.

Je to úměra nepřímá. Stačí tak?

P.S.: Nevíte někdo, jak si zapnout smajlíky?

je to zakázané :-)

kollma · 06. 10. 2013 20:03

Za 24 dní bude hotovo 86,7 % práce. Mělo by to vyjít celkem na 28 dní.

Tohle počítání s procenty neni moc dobrý, protože si tam snadno spleteš základy apod.

Kdysi ve škole jsme to počítali tak, že jeden dělník udělá za den $\frac{1}{5\cdot 18}$ práce.
Pak už jenom sčítáš zlomky, dokud nevyjde 1.

zdenek1 · 06. 10. 2013 20:38

↑ smajdalf:
Za mých mladých let jsme to počítali přes "člověkodny"
Celá práce je 5*18 člověkodnů.
udělali 5*3 člověkodnů a zbývá jim 3*x člověkodnů
$5\cdot 18=5\cdot 3+3x$
Celá práce pak trvá x+3 dnů.

Metoda je to naprosto jednoduchá, zvládnou to i malé děti hned jak se naučí řešit rovnice. Žádné nové úžasné metody bych rozhodně nevymýšlel.

smajdalf · 06. 10. 2013 22:41

↑ kollma:
Ne, ne. Mělo to vyjít 25 dní.

↑ zdenek1:
Tenhle postup také znám, ale díky.
Mě pouze zajímalo, kde jsem ve svých úvahách z prvního příspěvku udělal chybu nebo něco nedomyslel, že mi to vyšlo o ten jeden den méně.

↑ jelena: tvoje úvaha je pro mě trochu zamotaná.
Myslela jsi to tak, že kdyby ti 3 dělnící pracovali na 100% dokončili by práci za zbývajících 15 dní?

To přece nejde, pokud jsme předtím řekli, že 5 dělníků maká 100% tempem (a tedy dokončí práci za 18 dní celkem).
V tom případě by pak 3 dělnící museli pracovat 160% tempem, aby za zbývajících 15 dní práci dokončili.
Prostě jednoduše: každý jeden dělník každý den přispěje 20% práce (platí pro 5 lidí na začátku).
Takže když 2 lidi odejdou, tak se sníží množství práce, kterou - ti zbývající 3 dělníci - udělají za den, a to o $2 \cdot 20\, \%$ .
Každý den tedy naberou 40% zpoždění (co se týče množství odvedené práce).
No a po 15ti dnech to prostě musí být: $15 \: \text{dní} \cdot 40\,\% = 6 \: \text{dní}$

Ale zřejmě se pletu, jen NEVÍM KDE (a to mě štve ;-)

Podle člověkodnů to vychází 25 dní.
Podle tvojí úvahy (trojčlenky) ↑ jelena: taky 25.
Mohla bys mi to prosím trochu rozepsat, jak jsi to přesně myslela s těmi 100% za 15 dní?

Jinak díky všem zúčastněným.

jelena · 06. 10. 2013 23:47

Zdravím v tématu,

↑ zdenek1:

a jezdili в колхоз на картошку, яблоки, сахарную свеклу и многое, многое другое? Мы - да а říká se tomu трудодень :-) Podle profilu kolegy jsem pochopila, že se připravuje na obdobnou situaci (cca 38. minuta) a hledá neúplně tradiční cesty. I když někde mám v odkazech klasickou Aritmetiku Kiseleva a mám dojem, že v tom je podle kolegy.

Myslela jsi to tak, že kdyby ti 3 dělnící pracovali na 100% dokončili by práci za zbývajících 15 dní?

oni budou pracovat na svých 100%, ovšem splní pouze 60% práce oproti 100% 5 dělníkům . To jsi napsal v 1. příspěvku a to jsem použila v nepřímé úměře. Stačí tak na zorientování?

Pro pořádek: kolega ↑ kollma: píše "celkem 28" a to také bude (včetně odpracovaných). Jak použit Tvou úvahu s 40 % neodpracovanými, to nemám domyšleno.

smajdalf · 07. 10. 2013 01:15

↑ jelena:

Ano, stačí. Díky!

↑ kollma:

Omlouvám se, přehlédl jsem, že myslíš celkem "celkem". Pak je 28 správně.
--------------------------------------------------------------------------------------------

A ještě mě napadla jedna varianta, tentokrát to vychází správně:

5 dělníků za 3 dny udělá $\frac{3}{18} = 16,67\,\%$ celkové práce (kterou je potřeba dokončit).

3 dělníci by celou práci dělali sami 30 dní (trojčlenka).
Tudíž za zbývajících 15 dní stihnou dalších $\frac{15}{30} = 50\,\%$ práce.

Tedy na konci 18. dne je celkem hotovo 66,67 %.
Zbývá dokončit 33,33 %. Na to tedy ještě potřebují dalších $0,3\bar{3} \cdot 30 \doteq 10 \; \text{dní}$ .

Celkem všehovšudy 28 dní.
------------------------------------------------------------------------------------------------

A další, ještě jednodušší ;-)

Vyjdeme z předchozího, že:
5 dělníků za 3 dny udělá $\frac{3}{18} = 16,67\,\%$ celkové práce.

Pak tedy zbývá dokončit 83,33 %.
Jelikož 3 dělníci by celou práci dělali sami 30 dní (trojčlenka).
Tak těch 83,33 % jim bude trvat $0,833\bar{3} \cdot 30 \doteq 25 \; \text{dní}$ .

Děkuji všem za podněty, hlavně JELENĚ.
Původní problém se sice nepodařilo vyřešit, ale já to nevzdám ;-)

Díky!

jelena · 07. 10. 2013 09:28

↑ smajdalf:

:-) také děkuji, předpokládám, že jsi byl hlavně inspirován učitelem Karfíkem. Jen ještě pár drobností:

a) není dobré přepočítávat na hodiny - jednou je v této úloze "den", tedy můžeme mít díly dne, ale nevíme, jak je den dlouhý (8 hodin, 12 nebo 24 nebo jinak, ani to není podstatné),

b) není dobré zaokrouhlovat v mezivýpočtech, pokud můžeš pracovat se zlomky až do konce - je to hezčí,

c) už jsem došla, jak naložit s 40% nedodělavek a náhradních časů. Oni ve třech budou pracovat dalších 6 dnů, ovšem opět se "ztrátou" 40 % atd. tedy tudy cesta povede přes jeden matematický pojem, která se na ZŠ nebere, až na SŠ (tak nechám ještě Tobě na douvažování (hide pro zápis výsledků a nápověd se snažím nepoužívat)).

zdenek1 · 07. 10. 2013 18:33

↑ jelena:
zdravím,
my jsme jezdili na chmel a na brambory.

A také jsem pochopil, že je to nějakej pajďák (ta škola).
Právě proto jsem psal, že bych žádné novoty nevymýšlel.
Ale kolega je zřejmě mladý, plný nadšení a optimizmu. Až se srazí s realitou, ono ho to přejde. :-)

jelena · 07. 10. 2013 19:02

kolega Zdeněk napsal(a):
Až se srazí s realitou, ono ho to přejde. :-)

do té doby však může nadšeně bádat, aby si trochu užil, než ho pohltí realita (tedy naštěstí pedagogickou realitu znám jen z té pozitivní nepedagogické stránky)

my jsme jezdili na chmel a na brambory.

:-) tak to mám snad jednodušší vypsat na čem jsme nebyli (asi na sběru datli na palmách a na tom chmelu také ne), jelikož jsme nejbohatší zemědělská oblast a začínali jsme od nějakého jednocení a ředkviček až do cukrové řepy pod sněhem + třídění zelí na VŠ a konzervárny zde o povinné brigádě po 1. ročníku:-)

Jinak standardem metod na společnou práci je nepřímá úměra, součet do 1 a Tvůj návrh (což je všechno cca stejné) - tak? Také zdravím.

jelena · 08. 10. 2013 12:18

↑ smajdalf:

Zdravím,

označil jsi téma za vyřešené - podařilo se použit návod c) ↑ příspěvku 8:? Děkuji.

smajdalf

↑ jelena:

Ano podařilo. Ty si prostě génius (snad nevadí to tykání).
Tohle by mě v životě nenapadlo.
Jak jsi na to přišla???

--------------------------------------------
Jinak, takhle jsem postupoval:

Sestavil jsem si součet nekonečné řady $s_{n} = 6 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} 0,4^{n}$
A pak jen přes limitu součtu geom. řady $\lim_{n \rightarrow \infty} s_{n} = s_1 \cdot \frac{\; 1-q^n}{1-q}$ ,
jsem dostal $\lim_{n \rightarrow \infty} s_n = 4$
Tzn. po přičtení předchozích odpracovaných dní: $18+6+4 = 28 \; \text{dní}$

Tak takhle bych to osmákům (nebo ve které třídě se spol. práce učí) počítat nedal :-DDDDD

Jeleno, díky moc!

jelena · 09. 10. 2013 18:36

↑ smajdalf:

Také děkuji. Představila jsem si, že až budou pracovat další přidělené období, tak opět budou ve stejném skluzu a tak vzniklo další období atd. nakonec jsem celou dobu práce 3 pracovníků počítala vzorcem pro součet nekonečné řady s a_1=15, q=4/10.

Co se mi zatím nedaří je vymyslet takovou formulaci úlohy, aby ta nekonečná řada byla rovnou vidět.

Matematické Fórum

#1 06. 10. 2013 10:36

Pět dělníků - společná práce/ZŠ

#2 06. 10. 2013 11:00

Re: Pět dělníků - společná práce/ZŠ

#3 06. 10. 2013 20:03

Re: Pět dělníků - společná práce/ZŠ

#4 06. 10. 2013 20:38

Re: Pět dělníků - společná práce/ZŠ

#5 06. 10. 2013 22:41

Re: Pět dělníků - společná práce/ZŠ

#6 06. 10. 2013 23:47

Re: Pět dělníků - společná práce/ZŠ

#7 07. 10. 2013 01:15

Re: Pět dělníků - společná práce/ZŠ

#8 07. 10. 2013 09:28

Re: Pět dělníků - společná práce/ZŠ

#9 07. 10. 2013 18:33

Re: Pět dělníků - společná práce/ZŠ

#10 07. 10. 2013 19:02

Re: Pět dělníků - společná práce/ZŠ

kolega Zdeněk napsal(a):

#11 08. 10. 2013 12:18

Re: Pět dělníků - společná práce/ZŠ

#12 08. 10. 2013 17:55 — Editoval smajdalf (08. 10. 2013 18:02)

Re: Pět dělníků - společná práce/ZŠ

#13 09. 10. 2013 18:36

Re: Pět dělníků - společná práce/ZŠ

Zápatí