Matematické Fórum

kolejo · 09. 10. 2013 15:47

Dobrý den,
dostali jsme takový malý úkol na procvičení v algebře. Prý na to máme a není to nic těžkého.
Rád bych tomu porozuměl, bylo by to fajn. Proto Vás žádám o nějaké pošťouchnutí, prosím.
Na internetu jsem nic, co by mi pomohlo, nenašel:
"Dokažte, že interval v Booleově algebře je Booleova algebra"

Co vím:
=> Booleova algebra je komplementární distributivní svaz
=> každý prvek má komplement
==> např prvek a má komplement b, to znamená, že jejich supremum je největší prvek, inf je nejmenší prvek
(to jen abych si to vyjasnil a měli to před sebou)
=> distributivní, no tak k tomu není moc co dodat, platí distributivita
=> interval, no když si představím Hasseův diagram, tak jako interval chápu hranu toho grafu (pokud mi to tak dovolíte nazvat, nejsem si jist, zda je to úplně korektní)

A nyní? Jak tam dostanu ty komplementy? Kde je hledám? Prosím, dá se přidat nějaká odrážka k tomu, co vím, abych zvládl dokázat tvrzení? Co mi chybí?
Děkuji moc,
kolejo

Brano · 09. 10. 2013 16:59

neviem presne co myslis tym intervalom, ale ak tym myslis toto:

mas $x,y$ take, ze $x\wedge y=x$ a $x\vee y=y$ (to su krajne body) a uvazujes vsetky $z$ take, ze $x\wedge z=x$ a $z\vee y=y$ , tak potom za komplement k $z$ mozes myslim povazovat $(\neg z\wedge y)\vee x$ .

kolejo · 09. 10. 2013 17:43

↑ Brano:
Děkuji, ano, to jsem myslel tím intervalem. OK, vypadá to dobře, ještě se nad tím zamyslím (snad dneska)
...a pomalu to budu směřovat k "označuji za vyřešené".
Ještě jednou, moc děkuju.

kolejo · 10. 10. 2013 16:56

↑ Brano:
OK, prozkoumal jsem to. Sedí to, jen bych ještě měl pár dotazů, prosím:
1) komplement z je $(\neg z\wedge y)\vee x$
"negace z"="komplement z"?
nevadí, že tam je "negace z=negace z" s něčím okolo?
Čekal bych, že v tom výrazu, který definujeme komplement samotný komplement vystupovat nebude.

2) druhá věc je, že by mě zajímalo, jak na to takhle člověk přijde? Dá se popsat nějaký postup typu "chci tohle, tak tam dát tamto a zkusím to s tím, uvidím co to udělá a hledám dál..." ?

Děkuji moc.

Brano · 10. 10. 2013 17:40

ty definujes nejaku novu operaciu v tom intervale, ktora tam bude sluzit ako negacia a pri tom mozes samozrejme pouzit vsetky operacie z povodnej algebry t.j. to $\neg$ je negacia v povodnej algebre a ak v tom chces mat "poriadok" tak by si si mal tuto novu operaciu oznacit nejak inak, trebars $\neg_{[x,y]}z=...$

neviem ci ti nejak extra pomozem v tom ako na nieco take prist, ja som definiciu booleovej algebry videl prvykrat ked si ju tu napisal, na wiki som si o tom trosku pozrel, ale ani to sa mi nechcelo vsetko citat, lebo tam bolo vela textu - iba som si pozrel, ze kazda booleova algebra je reprezentovatelna - t.j. ze je to vlastne nejaky system podmnozin nejakej mnoziny povedzme $\omega$ , k.t. je uzavrety na prieniky a komplementy a ako ten interval sa mi zdalo prirodzene teda chapat, ze uvazujeme mnoziny $z$ take, ze $x\subseteq z\subseteq y$ a kedze komplementy k $z$ toto nesplnaju, tak bude lepsie ked mnoziny $z$ budeme reprezentovat takto: $z=x\cup z'$ kde $z'\subseteq y\setminus x$ . vsetky take $z'$ budu tvorit b. algebru "vhodnych" podmnozin $y\setminus x$ kde komplementom je $\neg z'=(y\setminus x)\setminus z'$ a potom ked sa znova izomorfne presunieme do toho intervalu, tak je vhodne definovat (pozor tie symboly negacie vlavo a vpravo su ina operacia, len sa mi ju nechce indexovat)
$\neg z=(\neg z')\cup x=((\omega\setminus z)\cap y)\cup x$

a kedze jednotlive kroky v tej konstrukcii som podrobne neoveroval, tak je fajn zobrat ten "navrh" a proste pooverovat, ci splna vsetky poziadavky - co si uz, ak som to spravne pochopil, urobil.