Matematické Fórum

Epoxi · 13. 10. 2013 18:51

Dobrý večer, potřeboval bych pomoct dokázat správně matematicky následující věty :

1) Jestli posloupnost funkcí $(f_{n}(x))^{\infty }_{n=1}$ stejnoměrně konverguje na množině $M\subset R$ k funkci $f(x)$ , potom tato posloupnost na M konverguje k funkci $f(x)$ také bodově

2) Nechť $(f_{n}(x))^{\infty }_{n=1}$ je konvergentni posloupnostní kostantnich funkci definovanách na mnozine $M\subset R$ . Potom tato posloupnost konverguje na M stejnoměrně.

3) Nechť posloupnost funkcí $(f_{n}(x))^{\infty }_{n=1}$ konverguje k funkci $f(x)$ stejnoměrně na mnozinach M a N. Pak konverguje k funkci $f(x)$ stejnoměrně také na sjednocení $M \cup N$

JohnPeca18 · 13. 10. 2013 20:47

Možno skús napísať myšlienku a ako si to robil. Skús si napísať predpoklad a to čo chceš dokázať a kde si sa v dôkaze zasekol.

Epoxi · 13. 10. 2013 21:22

Bodova konvergence je vlastne toto

$(\forall \varepsilon >0)(\forall x\in M)(\exists n_{0}\in N):n\in N\wedge n\ge n_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$

Stejnomerna konvergence je toto:

$(\forall \varepsilon >0)(\exists n_{0}\in N):n\in N\wedge n\ge n_{0}\wedge x\in M\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$

1)Jde v podstate o to, zmam ve stejnomerne nejake jakoby univerzalni x, tak potom v bodove je to splneno pro vsechny. Jenom nevim jak to zapsat matematicky.

2) U konstatní funkce by měla bodová a stejnoměrná posloupnost splývat.

3) pouzil jsem jine znaceni
$(\forall \varepsilon >0)(\exists n_{0}\in N):n\in N\wedge n\ge n_{0}\wedge x\in M\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$
$(\forall \varepsilon >0)(\exists n_{0}\in N):n\in N\wedge m\ge n_{0}\wedge x\in B\Rightarrow |f_{m}(x)-f(x)|<\varepsilon$

Toto me tak trosku plete, ty mnoziny muzou byt libovolne. A jejich prunik by prece mohl byt prazdny. Budu si potreboval vzit maximum z m a n.

JohnPeca18

1)Mas $(\forall \varepsilon >0)(\exists n_{0}\in N):n\in N\wedge n\ge n_{0}\wedge x\in M\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$
chces dokazat
$(\forall \varepsilon >0)(\forall x\in M)(\exists l_{0}\in N):n\in N\wedge n\ge l_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$
Vyberies si zaciatok tvrdenia $\forall \varepsilon >0)(\forall x\in M)$ . To znamena, ze niekto ti da lubovolne $x_0$ , a lubovolne $\varepsilon_0$ a ty potrebujes k nemu najst spravne $l_{0}$ . Mozes pouzit predpoklad. Z predpokladu vies, ze k $\varepsilon_0$ existuje nejake $n_0$ , pre ktore bude platit to tvrdenie pre vsetky x, teda i pre $x_0$ . A teda polozis $l_0=n_0$ . Neviem ci ti to staci, ci to je jasne.

2) konstantni funkce jsou $f(x)=c$ ? K tomu se jeste zamyslim

3)Jo, jenom vezmes maximum z m a n. Upravil by som este to znacenie. Pozor kde vystupuju tie m a n, z ktorych chces robit maximum. A ja by som daval namiesto toho AND, radsej ForAll
$(\forall \varepsilon >0)(\exists m_1\in N):\forall n\in N\wedge n\ge m_{1}, \forall x\in M\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$
$(\forall \varepsilon >0)(\exists m_2\in N):\forall n\in N\wedge n\ge m_{2}, \forall x\in B\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$
A pokial by mi niekto dal dokazat tvrdenie
$(\forall \varepsilon >0)(\exists m_3\in N):\forall n\in N\wedge n\ge m_{2}, \forall x\in B\cup M \Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$
Tak zase si vezmem zaciatok. $\forall \varepsilon >0)$ Vidim, ze ku kazdemu epsilon musim najst prislusne $m_3$ a ja to necham $m_3=\max\{m_1,m_2\}$ . A vdaka predpokladom plati tvrdenie i pre x z mnoziny B i pre x z mnoziny M.