Matematické Fórum

:D · 13. 10. 2013 22:05

Ahoj,

mám otázku ku definícii ekvivalencie noriem. Prečo je tá definícia takáto? Resp. ako z nej vidím, že ekvivalentné normy generujú tú istú topológiu?

$\alpha |x|_{b}\le |x|_{a}\le \beta |x|_{b}$

Je tá definícia rovnaká aj pre nekonečno rozmerné vekt. priestory?

vanok · 13. 10. 2013 22:36 — Editoval vanok (14. 10. 2013 14:08)

Ahoj ↑ :D:,
Ano ta ista definicia.
Ale potom mas aj neequivalentne normy.
Édit

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Brano · 14. 10. 2013 13:39

V normovanom priestore $X$ sa topologia generuje takto:

def $B(x,r)=\{y\in X;|x-y|<r\}$ je otvorena gula
def $U$ je otvorena prave vtedy ked pre lubovolne $x\in U$ existuje $r>0$ take, ze $B(x,r)\subseteq U$ .

teraz uvazujme dve normy $||_1$ a $||_2$ ktore splnaju
$\alpha |x|_1\le |x|_2\le \beta |x|_1$ pre $\alpha,\beta >0$
k nim prisluchajuce otvorene gule oznacme $B_1$ a $B_2$

over si, ze plati $B_2(x,\alpha r)\subseteq B_1(x,r)\subseteq B_2(x,\beta r)$
a z tohoto a definicie otvorenej mnoziny uz vidiet lahko, ze generuju rovnake topologie

Rumburak

↑ :D:

Ahoj. Ještě jiný pohled:

Jesliže pro dvě normy $|\,.\,|_a , |\,.\,|_b$ definované na lineérním prostoru $P$ je splněno

(1) $\alpha |x|_{b}\le |x|_{a}\le \beta |x|_{b}$

pro určité konstanty $\alpha, \beta > 0$ a libovolné $x \in P$ , potom v prostoru $P$ platí:

(T) posloupnost $(x_n)$ konverguje k $x$ v normě $|\,.\,|_a$ tehdy a jen tehdy, konverguje-li k $x$ v normě $|\,.\,|_b$ .

Důkaz tohoto tvrzení je snadno patrný z nerovnosti

(2) $\alpha |x - x_n|_{b}\le |x - x_n|_{a}\le \beta |x - x_n|_{b}$ ,

která bezprostředně plyne z (1).

Důsledkem tvrzení (T) pak je, že ekvivalentní normy generují v $P$ tutéž operaci uzávěru, tedy tutéž topologii.

Jen tak pro zajímavost dodám, že v prostoru konečné dimense jsou každé dvě normy ekivalentní.
Definice ekvivalence norem má tedy smysl HLAVNĚ v prostorech nekonečné dimense.

Matematické Fórum

#1 13. 10. 2013 22:05

Ekvivalencia noriem

#2 13. 10. 2013 22:36 — Editoval vanok (14. 10. 2013 14:08)

Re: Ekvivalencia noriem

#3 14. 10. 2013 13:39

Re: Ekvivalencia noriem

#4 14. 10. 2013 16:50 — Editoval Rumburak (14. 10. 2013 17:33)

Re: Ekvivalencia noriem

Zápatí