Matematické Fórum

Bati · 15. 10. 2013 14:33

Ahoj,
zasekl jsem se na triviální věci - Mám $f\in L^1(a,b)$ , $(a,b)$ omezený. Jak prosím jednoduše ukázat, že $\int\limits_{\{|f|\geq N\}}|f|\,\mathrm{d}\mu\to0$ pro $N\to\infty$ ?. Děkuji.

Formol · 15. 10. 2013 14:57

↑ Bati:
Pokud bych si vzal např. $f:=+\infty$ , tak ta je na (a,b), pokud se nemýlím, měřitelná, ale dokazované tvrzení pro ni neplatí.

Něco jiného by bylo, kdybys měl omezení, že f je na (a,b) omezená skoro všude.

Bati · 15. 10. 2013 14:59

↑ Formol:
$f\in L^1(a,b)$ mám na mysli, že $\int_a^b |f|\,\mathrm{d}\mu<\infty$ .

Stýv · 15. 10. 2013 14:59

↑ Bati: nešlo by třeba přehodit limitu a integrál?

↑ Formol: předpokládá $f\in L^1(a,b)$ , tj. konečnej integrál

Formol · 15. 10. 2013 15:01

↑ Bati:
Omlouvám se a stydím se.

Bati · 15. 10. 2013 22:59

↑ Stýv:
To by asi šlo:
$\lim_{N\to\infty}\int\limits_{\{|f|\geq N\}}|f|\,\mathrm{d}\mu=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b|f|\chi_{\{|f|\geq N\}}\,\mathrm{d}\mu=\int\limits_a^b|f|$\lim_{N\to\infty}\chi_{\{|f|\geq N\}}$\,\mathrm{d}\mu=\int_a^b0 s.v.\,\mathrm{d}\mu=0$ ,
kde záměna limit platí díky Léviho větě, protože posloupnost funkcí $\{|f|\chi_{\{|f|\geq N\}}\}_{N\in\mathbb{N}}$ je nerostoucí. A ta limita charakteristické funkce je nula skoro všude, protože pokud $f\in L^1$ , tak nutně $\mu$\{|f|=\infty\}$=0$ .
Děkuju za pomoc, snad je to takhle dobře. Myslel jsem si, že to půjde ukázat jen z nějaké nerovnosti. Označím za vyřešené, kdyby někoho napadlo něco lepšího, tak prosím napište.

Matematické Fórum

#1 15. 10. 2013 14:33

Vlastnost Lebesgueova integrálu

#2 15. 10. 2013 14:57

Re: Vlastnost Lebesgueova integrálu

#3 15. 10. 2013 14:59

Re: Vlastnost Lebesgueova integrálu

#4 15. 10. 2013 14:59

Re: Vlastnost Lebesgueova integrálu

#5 15. 10. 2013 15:01

Re: Vlastnost Lebesgueova integrálu

#6 15. 10. 2013 22:59

Re: Vlastnost Lebesgueova integrálu

Zápatí