Matematické Fórum

Epoxi · 17. 10. 2013 18:53

Zdravím, mám tuto mocninou řadu $\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{a^{2}}{n}+\frac{b^{2}}{n^{2}})x^{n}$ . Mám za úkol rozlišit tyto případy : 1) a i b jsou větší než nula a a > b. 2) a <=b, Tento výraz si označím jako $\frac{a^{2}}{n}+\frac{b^{2}}{n^{2}}=t$ . Dostávám $\sum_{n=1}^{\infty }tx^{n}$ . Budu řešit

$L=\lim_{n\to\infty }(\frac{a^{2}}{n}+\frac{b^{2}}{n^{2}})=\lim_{n\to \infty }(\frac{a^{2}}{n+1}+\frac{b^{2}}{(n+1)^{2}}) (\frac{n^{2}}{a^{2}n+b^{2}})$ Vyjde mi $\lim_{n\to \infty }\frac{a^{2}(1+\frac{1}{n})+\frac{b^{2}}{n}}{(a^{2}+b)}=\frac{a^{2}}{a^{2}+b}$ . Pokud bude a vetsi nez b, tak je to jasny pak by melo platit Obor konvergence by mel byt od -\frac{a^{2}+b}{a^{2}} do \frac{a^{2}+b}{a^{2}}. Myslim, ze je treba jeste overit jestli tam ty body patri nebo ne. To se dela Raabeovym kriteriem? No a kdyby bylo b vetsi nebo rovno a, tak je to to same. Nejsem si vůbec jistý postupem. Prosím pomoc

Hertas · 17. 10. 2013 19:16

nemáš náhodou počítat $\lim_{n\to+\infty }sup\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n\to+\infty }\sqrt[n]{\frac{a^2n+b^2}{n^2}}$ ?

Epoxi · 17. 10. 2013 19:37

Akorát pouzivas jiny kriterium. Puvodne i mě vyšla nula. Tak tochu implicitne jsem predpokladal, ze nula nevyjde. A btw, kdybych vedel reseni, tak se neptam. Melo by vyjit limita b myslim, ale nevim jak.

Hertas · 17. 10. 2013 20:32

jo promiň ty jak tam nemáš tu n-tou odmocninu tak mi bylo divný jak se můžou ty dvě limity rovnat :D
i tak ale limita vychází 1:
$\lim_{n\to+\infty }\frac{a^2(n+1)+b^2}{(n+1)^2}\frac{n^2}{a^2n+b^2}=\lim_{n\to+\infty }\frac{a^2n^3+a^2n^2+b^2n^2}{a^2n^3+b^2n^2+2a^2n^2+2b^2n+a^2n+b^2}=\frac{a^2}{a^2}$

Epoxi · 17. 10. 2013 20:43

No, výsledek mě docela znervoznuje, protoze kdyz se jsem se bavil se spoluzakama, tak kazdy rika neco jinyho. Prej ma vyjit limita b. A nekdo jiny zase rika, ze limita bude zavisla od b nebo a podle podminky. Ja bych tez souhlasil s timto, co jsi napsal.

Hertas · 17. 10. 2013 20:49

http://www.wolframalpha.com/input/?i=li … 281%2Fn%29

Epoxi · 17. 10. 2013 21:02

proc tam mas to 1/n

Hertas · 17. 10. 2013 21:22

cauchyův vzorec pro posloupnosti $\lim_{n\to+\infty }\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n\to+\infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ + ještě nějaký předpoklady, ale ty si nepamatuju :)

Epoxi · 17. 10. 2013 22:45

$\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{a^{n}}{n}+\frac{b^{n}}{n^{2}})x^{n}$ Mensi upgrade, to ma byt takhle :D ma vyjit limita b a a. Acko mi vychazi. B ne

Hertas · 17. 10. 2013 23:01

pro a>b a a>1 L=a
pro b>a a b>1 L=b
to je doufám jasný?
ještě se koukni co se bude dít když $a,b\in (0,1), a\not =b$

Epoxi · 17. 10. 2013 23:11

Potreboval bych stejnym postupem jak nahore udelat limitu, tak aby mi vysla b :D k cemu pujde (a/b)^n kdyz je b vetsi nez a. Asi k nule ze?

Hertas · 17. 10. 2013 23:14

to vetší vytkneš, všechno půjde k 1 díky monotonii n-tý odmocniny a zbyde ti jen a^n/n resp b^n/n

Matematické Fórum

#1 17. 10. 2013 18:53

Konvergence rady funkcí

#2 17. 10. 2013 19:16

Re: Konvergence rady funkcí

#3 17. 10. 2013 19:37

Re: Konvergence rady funkcí

#4 17. 10. 2013 20:32

Re: Konvergence rady funkcí

#5 17. 10. 2013 20:43

Re: Konvergence rady funkcí

#6 17. 10. 2013 20:49

Re: Konvergence rady funkcí

#7 17. 10. 2013 21:02

Re: Konvergence rady funkcí

#8 17. 10. 2013 21:22

Re: Konvergence rady funkcí

#9 17. 10. 2013 22:45

Re: Konvergence rady funkcí

#10 17. 10. 2013 23:01

Re: Konvergence rady funkcí

#11 17. 10. 2013 23:11

Re: Konvergence rady funkcí

#12 17. 10. 2013 23:14

Re: Konvergence rady funkcí

#13 18. 10. 2013 10:00 — Editoval Rumburak (18. 10. 2013 10:03) Příspěvek uživatele Rumburak byl skryt uživatelem Rumburak. Důvod: Zadání bylo mezi tím změněno

Zápatí