Matematické Fórum

NoTender · 19. 10. 2013 12:19

Dobrý den, můj prostý dotaz spočívá v tom, zda může být binární relace symetrická a zároveň asymetrická. Děkuji za odpověď. :)

Pavel Brožek · 19. 10. 2013 12:30

Ahoj,

co znamená, že je relace asymetrická? Nemyslíš spíš antisymetrickou?

NoTender · 19. 10. 2013 12:33

↑ Pavel Brožek: Kriste pane, omlouvám se za přepis. Samozřejmě, antisymetrická. :)

Pavel Brožek

Předpokládejme, že máme takovou relaci R.

Antisymetrie:

$(\forall a, b)(aRb\wedge bRa\rightarrow a=b)$

Symetrie:

$(\forall a, b)(aRb\rightarrow bRa)$

Předpokládejme, že $xRy$ . Pak ze symetrie plyne $yRx$ . A protože platí $xRy\wedge yRx$ , tak z antisymetrie dostaneme $x=y$ . Takže např. rovnost je zřejmě symetrická i antisymetrická relace. Ta je i reflexivní. Další nereflexivní symetrické antisymetrické relace bychom dostali snadno jako libovolnou podmnožinu relace rovnosti.