Matematické Fórum

letec · 21. 10. 2013 16:23

Zdravím, potřeboval bych poradit vzorec pro výpočet obsahu překryvu (průniku) dvou kružnic. S tím, že vím poloměry, souřadnice středů a že se kružnice protínají ve 2 bodech.
Děluji moc za pomoc.

gadgetka · 21. 10. 2013 17:31

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=62796

Vilik · 21. 10. 2013 21:52

Ahoj, potřebuju vyřešit stejný problém, mohl by sem dát někdo přímo vzorce které potřebujeme na výpočet průniku kružnic. Máme bod x a y středu jedné kružnice a to samé o druhé a ještě známe poloměry. Úlohu budu programovat takže je potřeba co nejjednoduší řešení. Díky moc za jakoukoliv pomoc :)

Arabela · 21. 10. 2013 23:38

Ahoj ↑ Vilik:,
máme teda $S_{1}[x_{1},y_{1}], S_{2}[x_{2},y_{2}], r_{1}, r_{2}$ .
Vzdialenosť stredov kružníc vypočítame ako vzdialenosť dvoch bodov daných súradnicami:
$d=|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ .
Nech A, B sú priesečníky daných kružníc. Označme
$|\sphericalangle AS_{1}B|=\alpha , |\sphericalangle AS_{2}B|=\beta$ .
V trojuholníku $S_{1}S_{2}A$ poznáme dĺžka strán $r_{1}, r_{2}, d$ a zjavne platí
$|\sphericalangle AS_{1}S_{2}|=\frac{\alpha }{2}$
$|\sphericalangle AS_{2}S_{1}|=\frac{\beta }{2}$ .
Pre hľadanú plochu platí:
$P=\frac{\pi r_{1}^{2}}{360^\circ }.\alpha -\frac{1}{2}t.v_{1}+\frac{\pi r_{2}^{2}}{360^\circ }.\beta -\frac{1}{2}t.v_{2}=$
$=\frac{\pi }{360^\circ }(r_{1}^{2}.\alpha +r_{2}^{2}.\beta )-\frac{1}{2}t.d$ ,
kde $t=|AB|$ .
Ľahko vypočítame, že $t=2r_{1}.\sin \frac{\alpha }{2}$
a použitím kosínusovej vety aj
$\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{r_{1}^{2}+d^{2}-r_{2}^{2}}{2.r_{1}.d}$ ,
odkiaľ dostaneme $\frac{\alpha }{2}$ pomocou funkcie arccos.
Obdobne pre uhol $\frac{\beta }{2}$ ...
takže máme všetko, stačí dosadiť do vzorca pre P...