Matematické Fórum

Priest · 25. 10. 2013 13:40

Ahoj, potřeboval bych poradit s tímto příkladem:
$f(x) = 5^{-\frac{x}{2}+1}-3$
Úkolem je určit průsečíky.
Průsečík s osou y mám v pořádku, problém mi dělá průsečík s osou x, který řeším takto:
$y=0\\ 0=5^{-\frac{x}{2}+1}-3\\ 3=5^{-\frac{x}{2}}*5\\ 3=\frac{1}{5^{\frac{x}{2}}}*5\\ 5^{\frac{x}{2}}*3=5\\ 5^{\frac{x}{2}}=\frac{5}{3}\\ \log_5{5^{\frac{x}{2}}}=\log_5{\frac{5}{3}}\\ \frac{x}{2}\log_5{5}=\log_5{\frac{5}{3}}\\ x=2log_5{\frac{5}{3}}$
x je podle výsledku správně.
Když ale chci vypočítané x dosadit do rovnice, nedokážu se dopočítat, takže nejsem schopen určit y-tou souřadnici průsečíku s osou x, potřeboval bych tedy poradit. Mockrát děkuji za pomoc.
Ještě dodám, že y-tá souřadnice by měla vyjít 0.

Dopočítal jsem se zde:
$y=5^{-\frac{2\log_5{\frac{5}{3}}+1}{2}}-3\\ y=5^{-\log_5{\frac{5}{3}}}*5-3$

Rumburak

Ahoj.

Jinými slovy: nevyšla Ti zkouška pro $x = 2 \,\log_5 \,\frac{5}{3}$ tj. $\frac{x}{2} = \log_5 \,\frac{5}{3}$ ?

Hned v jejím prvním řádku máš chybu (asi při dosazení). Mělo být např.

$f(x)= 5^{-\frac{x}{2}+1}-3 = 5^{-\log_5 \frac{5}{3}\,+\,1}-3 = 5 \cdot 5^{\log_5 \frac{3}{5}} - 3 = 5\cdot \frac{3}{5} - 3 = ... = 0$ .

Priest · 25. 10. 2013 15:02

↑ Rumburak:
Podle mého názoru to máme zapsáno stejně, jen s tím rozdílem, že já násobím pětkou za číslem s exponentem a Ty před číslem s exponentem. Já jsem se nedokázal zbavit logaritmu v exponentu, nějak mi to nešlo do hlavy, děkuji moc za řešení.

Rumburak · 25. 10. 2013 15:20

↑ Priest:
Nemáme :-) . Ty tam máš $y=5^{-\frac{2\log_5{\frac{5}{3}}+1}{2}}-3$ , ale mělo být $y=5^{-\frac{2\log_5{\frac{5}{3}}}{2}+1}-3$

(ta dlouhá zlomková čára měla být o něco kratší).

Priest · 25. 10. 2013 15:37

Ano, už to vidím, máš pravdu, omlouvám se :)
Jen pro jistotu, mohl bych se zeptat, jak ses zbavil logaritmu? Nejsem si zcela jistý... díky.

Rumburak · 25. 10. 2013 15:53

↑ Priest:

Logaritmická funkce je inversní funkcí k funkci exponenciální o témže základu $a$ (kladném a různém od 1),
pro všechny přípustné hodnoty $x, y$ ( $x$ reálné, $y > 0$ ) tedy platí

$\log_a a^x = x$ , $a^{\log_a y} = y$ .