Matematické Fórum

TerezaG · 27. 10. 2013 17:16

Zdravím na fóru, nevím si rady se součtem řady:

$\sum_{n=0}^{\infty }(\sqrt[]{n+2}-2\sqrt[]{n+1}+\sqrt[]{n})$

Budu ráda za veškerou pomoc :)

Arabela · 27. 10. 2013 18:06

Ahoj ↑ TerezaG:,
skús si napísať pod seba
$a_{0}=\sqrt{2}-2\sqrt{1}+\sqrt{0}$
$a_{1}=\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{1}$
$a_{2}=\sqrt{4}-2\sqrt{3}+\sqrt{2}$
$a_{3}=\sqrt{5}-2\sqrt{4}+\sqrt{3}$
$a_{4}=\sqrt{6}-2\sqrt{5}+\sqrt{4}$
$a_{5}=\sqrt{7}-2\sqrt{6}+\sqrt{5}$
$a_{6}=\sqrt{8}-2\sqrt{7}+\sqrt{6}$
$a_{7}=\sqrt{9}-2\sqrt{8}+\sqrt{7}$
$a_{8}=\sqrt{10}-2\sqrt{9}+\sqrt{8}$
$a_{9}=\sqrt{11}-2\sqrt{10}+\sqrt{9}$
............................
A teraz si predstav, že tie pravé strany sčituješ. V prvom riadku a v treťom riadku máš $\sqrt{2}$ , to sa zlúči, a v druhom riadku máš $-2\sqrt{2}$ , čo sa s predošlým zruší. Skús si to vyškrtať. Podobne môžeš vyškrtať všetky výrazy s $\sqrt{3}$ v druhom, treťom a štvrtom riadku; výrazy s $\sqrt{4}$ v treťom, štvrtom a piatom riadku, atď.
Keď pôjdeš donekonečna, všetky sa vyškrtajú okrem nevyškrtaných z prvého a druhého riadku $-2\sqrt{1}+0+1=-2+1=-1$ .
Hodnota toho nekonečného súčtu je teda $-1$ .

Matematické Fórum

#1 27. 10. 2013 17:16

Součet řady

#2 27. 10. 2013 18:06

Re: Součet řady

Zápatí