Matematické Fórum

Lukáš Ba-mat-fyz · 27. 10. 2013 22:13

Počas letného festivalu má byť $k$ zajacov vylosovaných. Kvôli tomu bolo $N\ge K$ losov vytlačených, z nich $K$ víťazných a ostatok nevýherných. Milý Fabián priniesol $x$ zajacov domov, pričom $1\le x \le K$ .Koľko losov kúpil? Odhadnite počet losov pomocou maximum likelyhood metódy.

Viete mi prosím Vás poradiť? Časom mi tam vyjde, že mám derivovať faktoriál čo je asi zlé. Pôjde to normálnou deriváciou? Ďakujem veľmi pekne

KennyMcCormick

Nikdy předtím jsem tohle nepočítal, takže je možné, že jsem úplně mimo.

Hustotu pravděpodobnosti diskrétního rozdělení derivovat nemůžeš, ne?

Co to počítat takhle?

Počet koupených losů: $y$
$L(y)=\frac{{K\choose x}{N-K\choose y-x}}{{N\choose y}}$ .

Nyní si vezmeme poměr:
$\frac{L(y)}{L(y+1)}$ a budeme postupně zvyšovat $y$ . Dokud bude tento poměr < 1, znamená to, že se pravděpodobnost zvyšuje. Až poměr začne být > 1, bude to znamenat, že se pravděpodobnost snižuje. Nás tedy zajímá, kdy se pravděpodobnost rovná 1.

$\frac{L(y)}{L(y+1)}=1$
$\frac{\frac{{K\choose x}{N-K\choose y-x}}{{N\choose y}}}{\frac{{K\choose x}{N-K\choose y+1-x}}{{N\choose y+1}}}=1$

Po zjednodušení rovnice vypadá takto:
$\frac{y+1-x}{N-K-y+x}\cdot\frac{N-y}{y+1}=1$

Řešení pro $y$ :
$y=\frac{Nx-K+x}K$

Teď zjistíme, kdy naposledy byla pravděpodobnost < 1, což bude:
$\left\lfloor\frac{Nx-K+x}K\right\rfloor$ , kde $\lfloor\text{číslo}\rfloor$ značí dolní celou část čísla.

Víme, že dokud je poměr < 1, pravděpodobnost se ještě zvýší, pokud zvýšíme $y$ o 1. Proto hledaný počet losů je:
$\left\lfloor\frac{Nx-K+x}K\right\rfloor+1=\left\lceil\frac{Nx-K+x}K\right\rceil$ , kde $\lceil\text{číslo}\rceil$ je horní celá část čísla.

Připomínám, že to může být špatně.

EDIT: Úprava pro větší přehlednost.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

EDIT:
Může nastat speciální případ, kdy $\frac{Nx-K+x}K\in\mathbb{N}^{+}$ . V takovém případě má $y$ a $y+1$ stejnou pravděpodobnost, a řešení jsou tedy dvě:
$\frac{Nx-K+x}K,\:\frac{Nx-K+x}K+1$ , což se dá zjednodušit jako:
$\frac{Nx-K+x}K,\:\frac{x(N+1)}K$

Abychom nemuseli zvlášť uvádět výsledek pro $\frac{Nx-K+x}K\in\mathbb{N}^{+}$ a $\frac{Nx-K+x}K\notin\mathbb{N}^{+}$ , sjednotíme obě varianty tak, že výsledek zapíšeme jako:
$\left\lceil\frac{Nx-K+x}K\right\rceil,\:\left\lfloor\frac{x(N+1)}K\right\rfloor$

Matematické Fórum

#1 27. 10. 2013 22:13

Štatistika-most likelyhood method

#2 28. 10. 2013 13:46 — Editoval KennyMcCormick (28. 10. 2013 21:04)

Re: Štatistika-most likelyhood method

Zápatí