Matematické Fórum

Aquabellla · 28. 10. 2013 17:23

Zdravím,

řeším konjugované funkce a narazila jsem na jeden zádrhel.
Máme funkci $f(x) = 0$ . Pak konjugovaná funkce je $f^*(y) = \sup_{x \in \mathrm{R}} \{ xy - 0 \} = 0$ , kde $y \in \{ 0 \}$ .
Jak mám ale postupovat, když funkce $f(x) = 0$ má definiční obor omezen jen na $\mathrm{R}^+$ ? Má vyjít $f^*(y) = 0$ , kde $y \in \mathrm{R}^-$ .

Další kombinace:
$f(x) = 0$ , $x \in [-1,1]$ $\Rightarrow$ $f^*(y) = |y|$ , $y \in \mathrm{R}$
$f(x) = 0$ , $x \in [0,1]$ $\Rightarrow$ $f^*(y) = y^+$ , $y \in \mathrm{R}$

Předem děkuji za radu!

Rumburak

↑ Aquabellla:

Ahoj. Jak zní definice konjugované funkce ?

jarrro · 29. 10. 2013 10:34

ak sa nemýlim tak to suprémum sa berie cez tie x ktoré patria do definičného oboru pôvodnej funkcie a definuje sa len pre tie y , pre ktoré je to suprémum konečné teda
pre nulovú fciu definovanú len na kladných číslach je
$\sup_{x \in \mathrm{R^{+}}} \{ xy - 0 \} = \begin{cases}0\text{ ak }y\leq 0\\\infty \text{ inak}\end{cases}$
podobne
$\sup_{x \in \[-1,1\]} \{ xy - 0 \} = \begin{cases}y\text{ ak }y\geq 0\\-y \text{ inak}\end{cases}$
$\sup_{x \in \[0,1\]} \{ xy - 0 \} = \begin{cases}y\text{ ak }y\geq 0\\ 0 \text{ inak}\end{cases}$

Aquabellla

↑ Rumburak:

$f^*(y) = \sup_{x \in \mathrm{R^n}} \{ \langle x,y \rangle - f(x) \}$

↑ jarrro:

Už v tom vidím tu úvahu, děkuji.
Do teď jsem vždy konjugovanou funkci počítala přes hledání maxima, tj. zderivovat, položit rovno nule... ale tady se musí přemýšlet, že :-)

jarrro · 30. 10. 2013 10:51

↑ Aquabellla:takto nájdeš prípadné lokálne maximá ale globálne môžu byť aj na hranici oboru definície
či množiny na ktorej tie extrémy hľadáš

Matematické Fórum

#1 28. 10. 2013 17:23

Konjugovaná funkce

#2 29. 10. 2013 09:10 — Editoval Rumburak (29. 10. 2013 09:10)

Re: Konjugovaná funkce

#3 29. 10. 2013 10:34

Re: Konjugovaná funkce

#4 30. 10. 2013 10:47 — Editoval Aquabellla (30. 10. 2013 10:47)

Re: Konjugovaná funkce

#5 30. 10. 2013 10:51

Re: Konjugovaná funkce

Zápatí