Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 30. 10. 2013 15:01 — Editoval Mythic (30. 10. 2013 15:04)

Mythic
Příspěvky: 217
Reputace:   
 

rekurentni rovnice

Ahoj,

chtěl bych poprosit, jestli by mi někdo mohl trošku dovysvětlit partikulární řešení rekurentních rovnic.

Mám zjistit jaký je vzorec pro:

$\sum\limits_{i=1}^{n+1} i^2 $

tedy: x(n+1) - x(n) = (n+1)^2

Došel jsem k řešení homogení části x(n+1) - x(n) = 0 ---> kde my vyšla báze { 1^n}

Teď bych měl řešit partikulární řešení a koukám do sešitu, že tu vždycky máme nějaký vzorec, ze kterého sme si pak vyjádřili a,b,... ale vůbec nevím jak ten řádek z kterého to budu vyjadřovat mám sestavit :(.

Offline

 

#2 31. 10. 2013 11:42 — Editoval Rumburak (08. 04. 2014 11:24)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: rekurentni rovnice

Ahoj.

Na podobný dotaz jsem už minimálně jednou odpovídal, ale nedaří se mi to najít. Podívejme se na to obecněji. 

Máme-li číselné posloupnosti $(a_n)$$(A_n)$ definované na množině $\mathbb{N} := \{  1,  2,  3,  ... \}$ (dále jen "poslouonosti")
a spojené vztahem

(1)                        $a_n = \Delta A_n  ,     n  \in  \mathbb{N} $ 

(kde $\Delta A_n$ je zkratka za $A_{n+1}-A_{n}$) ,  potom posl. $(a_n)$  nazýváme diferencí posl. $(A_n)$, zatímco posl.  $(A_n)$
se nazývá sumace posl.  $(a_n)$ .

Je-li dána posl. $(a_n)$ , pak její sumace není určena jednoznačně, avšak libovolná posl. $(A_n)$, která je sumací posl. $(a_n)$,
se dá vyjádřit ve tvaru

(2)                        $A_n = \sum_{k=1}^{n-1} a_k + C  ,     n  \in  \mathbb{N}   $ ,

kde $C$  je tzv. sumační konstanta charakterictická pro posl. $(A_n)$.  Tím je odůvodněn termín "sumace". Snadno nahlédneme,
že z (2) zpětně plyne (1) pro libovolnou posl. $(a_n)$ a konstantu $C$.
("V říši" posloupností jsou pojmy diference a sumace  analogií pojmů derivace a primitivní funkce "z říše"  hladkých funkcí
definovaných na intervalu).

Snadno se dají dokázat  vzorce 

(3)      $\Delta(A_n + B_n)  = \Delta A_n + \Delta B_n$$\Delta(\lambda A_n)  = \lambda\Delta A_n$

platné pro  libovolné posl. $(A_n)$ ,   $(B_n)$  a libovolné číslo $\lambda$.

Od obecných úvah přejděme k posl. $(n^p)$ pro pevně zvolenou konstantu $ p  \in  \mathbb{N}$ .  Z binomické věty odvodíme

                $\Delta n^p = (n+1)^p - n^p = \sum_{k=1}^p {p \choose k}n^{p-k}$ ,

zde pravá strana je zřejmě polynom (v proměnné $n$) stupně $p-1$ .

Odtud a z (3) obdržíme tvrzení:

    Je-li $F(n)$  polynom stupně $p\in \mathbb{N}$ , potom  $\Delta F(n)$ je polynom stupně $p-1$.

Z dosavadních úvah plyne závěr:

Je-li dán polynom $f(n)$ stupně $p-1$,  potom funkci $F(n)$ splňující vztah

                   $F(n) = \sum_{k=1}^{n-1} f(k) + C  ,     n  \in  \mathbb{N}   $

je rozumné hledat ve tvaru polynomu stupně $p$ .

Funkci $F(n) = \sum\limits_{i=1}^{n-1} i^2 $ tedy hledáme ve tvaru polynomu  třetího stupně,  takže

(4)                                  $F(n) = an^3 + bn^2 + cn + d$ ,

kde konstanty $a, b, c, d$  zjistíme tak, že hodnoty $F(1) ,  ... ,  F(4)$ určíme přímo numerickým výpočtem
a dle (4) tak dostaneme soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých  $a, b, c, d$.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson