Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Ahoj,
chtěl bych poprosit, jestli by mi někdo mohl trošku dovysvětlit partikulární řešení rekurentních rovnic.
Mám zjistit jaký je vzorec pro:
tedy: x(n+1) - x(n) = (n+1)^2
Došel jsem k řešení homogení části x(n+1) - x(n) = 0 ---> kde my vyšla báze { 1^n}
Teď bych měl řešit partikulární řešení a koukám do sešitu, že tu vždycky máme nějaký vzorec, ze kterého sme si pak vyjádřili a,b,... ale vůbec nevím jak ten řádek z kterého to budu vyjadřovat mám sestavit :(.
Offline
Ahoj.
Na podobný dotaz jsem už minimálně jednou odpovídal, ale nedaří se mi to najít. Podívejme se na to obecněji.
Máme-li číselné posloupnosti , definované na množině (dále jen "poslouonosti")
a spojené vztahem
(1)
(kde je zkratka za ) , potom posl. nazýváme diferencí posl. , zatímco posl.
se nazývá sumace posl. .
Je-li dána posl. , pak její sumace není určena jednoznačně, avšak libovolná posl. , která je sumací posl. ,
se dá vyjádřit ve tvaru
(2) ,
kde je tzv. sumační konstanta charakterictická pro posl. . Tím je odůvodněn termín "sumace". Snadno nahlédneme,
že z (2) zpětně plyne (1) pro libovolnou posl. a konstantu .
("V říši" posloupností jsou pojmy diference a sumace analogií pojmů derivace a primitivní funkce "z říše" hladkých funkcí
definovaných na intervalu).
Snadno se dají dokázat vzorce
(3) ,
platné pro libovolné posl. , a libovolné číslo .
Od obecných úvah přejděme k posl. pro pevně zvolenou konstantu . Z binomické věty odvodíme
,
zde pravá strana je zřejmě polynom (v proměnné ) stupně .
Odtud a z (3) obdržíme tvrzení:
Je-li polynom stupně , potom je polynom stupně .
Z dosavadních úvah plyne závěr:
Je-li dán polynom stupně , potom funkci splňující vztah
je rozumné hledat ve tvaru polynomu stupně .
Funkci tedy hledáme ve tvaru polynomu třetího stupně, takže
(4) ,
kde konstanty zjistíme tak, že hodnoty určíme přímo numerickým výpočtem
a dle (4) tak dostaneme soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých .
Offline