Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

Stránky: 1

 

#1 04. 11. 2013 15:35

davepb
Zelenáč
Příspěvky: 5
Pozice: študent
Reputace:   0 
 

Dôkaz zahrňujúci prvočísla+príklady z algebry

Zdravím,

máme zápočet z algebry a prechádzam si série úloh a je tam niekoľko príkladov s ktorými si neviem poradiť napr.:

Dokážte, že ak p, q sú navzájom rózne kladné prvočísla, tak neexistujú prírodzené čísla x, y aby platilo:
$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{pq}$

+tam budú príklady typu: .pdf, a tak by som sa chcel ešte spýtať, že či existuje niečo všeobecné čo si mám zapamätať pri riešení príkladov takého typu, keďže sa mi zdá, že prístup ku každému z nich je dosť odlišný, resp. niekedy neviem ani ako začať riešiť príklad.

Vopred ďakujem za odpovede.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) davepb)

#2 05. 11. 2013 09:27 — Editoval jarrro (05. 11. 2013 10:35)

jarrro
Příspěvky: 5490
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Dôkaz zahrňujúci prvočísla+príklady z algebry

$x+y+2\sqrt{xy}=pq$
teda xy by musela byť mocnina teda TOTO JE ZLÝ ZÁVER x=yTOTO JE ZLÝ ZÁVER
potom $y=\frac{m^2}{x}$
$x+\frac{m^2}{x}+2m=pq\nl\frac{\(x+m\)^2}{x}=pq$
teda xpq je mocnina teda x musí byť tvaru pqk^2
$\frac{\(pqk^2+m\)^2}{pqk^2}=pq\nl\frac{\(pqk^2+m\)^2}{k^2}=p^2q^2$
$\(pqk+\frac{m}{k}\)^2=p^2q^2\nlp^2q^2k^2+2mpq+\frac{m^2}{k^2}=p^2q^2\nl2mpq+\frac{m^2}{k^2}=p^2q^2\(1-k^2\)$
z kladnosti všetkých čísel plynie k=1
teda $2mpq=-m^2$ 4o pre kladné m nemôže nastať
snáď tam už nie je hlúposť

MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#3 05. 11. 2013 09:32

davepb
Zelenáč
Příspěvky: 5
Pozice: študent
Reputace:   0 
 

Re: Dôkaz zahrňujúci prvočísla+príklady z algebry

ďakujem

Offline

 

#4 05. 11. 2013 09:48

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4713
Reputace:   221 
 

Re: Dôkaz zahrňujúci prvočísla+príklady z algebry

↑ jarrro:

A co třeba $x=4,y=9$ nebo $x=2,y=32$ ?

Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#5 05. 11. 2013 10:13 — Editoval vanok (05. 11. 2013 15:19)

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: Dôkaz zahrňujúci prvočísla+príklady z algebry

Poznamka: je jasne ze $xy$ma byt  formy $z^{2k}$.
Co, sa mi zda, dovoli prist k metode à la ↑ jarrro:.(overte!)
No vsak ta hypoteza tykajuca sa p, q sa zda priliz restriktivna. 
Co si myslite?
A na koniec doplnujuca otazka:
Rieste rovnicu $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{pq}$
a) pre striktne kladne, cele,  lubovolne  x,y, p, q
Priklad riesenia  x=y=4; p=q=2 alebo p=1, q=4ci p=4, q=1$
b) za predpokladu ze pq je square-free integer

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 05. 11. 2013 10:36

jarrro
Příspěvky: 5490
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Dôkaz zahrňujúci prvočísla+príklady z algebry

↑ vanok:↑ byk7:je to teraz OK? poprosím kontrolu

MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#7 05. 11. 2013 10:57

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: Dôkaz zahrňujúci prvočísla+príklady z algebry

Vecer to overim.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 05. 11. 2013 11:24

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Dôkaz zahrňujúci prvočísla+príklady z algebry

↑ jarrro:
Myslím, že to je v pořádku.
Zajímalo by mě, jak se k takovému zadání vůbec dojde.

What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#9 05. 11. 2013 15:16 — Editoval vanok (05. 11. 2013 16:34)

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: Dôkaz zahrňujúci prvočísla+príklady z algebry

Ahoj ↑ Andrejka3:,
Asi je to dosledok ze neexistuje linearna kombinacia $a\sqrt x+ b \sqrt y $ z kladnymy nenulovymi  koeficientamy a, b a to pre lubovolne x, y cele, kladne nenulove cislo, taka ze  $ \sqrt {pq}$.
Co da v specialnom pripade  ( jedno mozne ) riesenie problemu.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 05. 11. 2013 15:25 — Editoval vanok (05. 11. 2013 15:26)

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: Dôkaz zahrňujúci prvočísla+príklady z algebry

↑ jarrro:
Uz aj toto staci na protiklad
$\frac{\(pqk^2+m\)^2}{k^2}=p^2q^2$
Akoze ide o kladne cisla mas
$pqk^2+m=pqk$
Co da okamzite spor.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#11 05. 11. 2013 16:21

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Dôkaz zahrňujúci prvočísla+príklady z algebry

↑ vanok:
Aha, díky.

What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#12 05. 11. 2013 21:52

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: Dôkaz zahrňujúci prvočísla+príklady z algebry

V pdf co su v ↑ davepb: je aj toto zabavne cvicenie ( aspon pre mna).
Dokazte, ze cele cislo pozostavajuce  z $3^n$ rovnakych cislic je delitelne cislom  $3^n$
Ako by ste ho vy riesili?( potom moze dat aj moje riesenie)

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#13 06. 11. 2013 19:18

check_drummer
Příspěvky: 5511
Reputace:   106 
 

Re: Dôkaz zahrňujúci prvočísla+príklady z algebry

↑ vanok:
Ahoj, teď v rychlosti mě napadlo (detaily jsem nerozmýšlel): Stačí búno předpokládat, že těch $3^n$ číslic jsou číslice 1. Dokážeme indukcí: pro n=1 zřejmě platí (3 dělí 111). Nechť tvrzení platí pro n, potom číslo y obsahující $3^{n+1}$ číslic 1 dostaneme z čísla x obsahujícího $3^n$ číslic jedna tak, že bude y=10^a.x+10^b.x+x, kde a,b jsou vhodná přirozená čísla (asi bude a=2n,b=n nebo něco podobného, ale konkrétní hodnoty nejsou podstatné). Potom tedy je y=x.(10..00100..001) a díky tomu, že $3^n$ dělí x a 3 dělí to číslo 10..00100..001 (jeho ciferný součet je 3), pak tedy 3^{n+1} dělí y, což jsme chtěli dokázat.

"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#14 06. 11. 2013 19:28

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: Dôkaz zahrňujúci prvočísla+príklady z algebry

Ahoj ↑ check_drummer:,
To si nasiel presne to iste ako ja.
Pekny vecer.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

 

Stránky: 1

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson