Matematické Fórum

Akcope · 05. 11. 2013 20:22

Zdravím, potřeboval bych vysvětlit maličkost na následujícím příkladu:

Jsme v $\mathbb{R}^{4}$ , $P\subset \subset \mathbb{R}^{4},Q\subset \subset \mathbb{R}^{4}$

$P =\{\left( \begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \alpha_{3} \\ \alpha_{4} \\ \end{array}\right)\in \mathbb{R}^{4}| \alpha_{2}+3\alpha_{3}+\alpha_{4}=0 \wedge 2\alpha_{1}+\alpha_{2}+3\alpha_{3}-\alpha_{4} = 0 \}$

$Q =\{\left(\begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \alpha_{3} \\ \alpha_{4} \\ \end{array}\right)\in \mathbb{R}^{4}| -2\alpha_{1} + \alpha_{2}+5\alpha_{3}+5\alpha_{4}=0 \wedge 4\alpha_{1}+3\alpha_{2}+5\alpha_{3}-5\alpha_{4} = 0 \}$

Zadání zní: Najděte dimenzi a bái P+Q, A najděte čemu se rovná $P\cap Q$ .

Prý je už ze zadání vidět, že dim P = 2 a dim Q = 2. Nevím, z čeho je to tak jasné. Prosil bych o krátké objasnění.

Jinak dál první část vím jak spočítat. Jen pro kontrolu:

Jak P, tak Q vyjádřím jako lineární obal generátorů. (Vygaussuji 2 matice ve kterých budou ty dvě rovnice ze zadání, a pak je vyřeším tak že si proměnné ve vedlejších soupcích zvolím a dopočítám. Kromě toho je budu volit tak, že si vynutím LN)

Bázi a dimenzi P+Q jednoduše zjistím tak, že si takto vyjádřené P a Q opět vygaussuji.

Dimenze mi vyšla 3 a báze $\left( \begin{array}{c} 0\\ 3\\ -1 \\ 0 \\ \end{array}\right), \left( \begin{array}{c} -1\\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}\right),\left( \begin{array}{c} 2\\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}\right)$ .

Ale problém s tím, jak najít průnik P a Q. Prý se $P\cap Q=[\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{array}\right)]_{\lambda }$

Mohl by mi někdo prosím vysvětlit, jak k tomuhle dojít? Díky

Hertas · 05. 11. 2013 20:44

dimenzi P a dimenzi Q můžeš vidět díky tomu, že je máš zadané jako množiny se dvěma LN podmínkama.
průnik P a Q se řeší takto:
(označím vektory P = $[\vec{p_1},\vec{p_2}]_\lambda$ , Q = $[\vec{q_1},\vec{q_2}]_\lambda$ )

sestavíš rovnici:
$\alpha \vec{p_1}+\beta \vec{p_2}+\gamma \vec{q_1}+\delta \vec{q_2}=\vec{0}$
dostaneš matici a vypadnou ti z ní koeficienty $\alpha, \beta, \gamma, \delta$
původní rovnici si můžeš přepsat takto:
$\alpha \vec{p_1}+\beta \vec{p_2}=-\gamma \vec{q_1}-\delta \vec{q_2}$
kde na jedné straně máš vektory z jednoho podprostoru a na druhé straně vektory z druhého
teď už jenom stačí vzít koeficienty příslušné vektorům dosadit a dopočítat vektory z $P\cap Q$

Akcope · 05. 11. 2013 22:12

↑ Hertas:
Díky.

Matematické Fórum

#1 05. 11. 2013 20:22

Průnik dvou podprostorů

#2 05. 11. 2013 20:44

Re: Průnik dvou podprostorů

#3 05. 11. 2013 22:12

Re: Průnik dvou podprostorů

Zápatí