Matematické Fórum

Tomas.P

Dobrý den, vím, že bych neměl do jednoho tématu psát víc příkladů, ale potřeboval bych jen zkontrolovat postup a výsledek. Děkuji za pochopení
1. Určete Re(z) a Im(z) část komplexního čísla:
a. $z=(-i)^{i}=e^{ln(-i)^{i}}=e^{i\cdot ln(-i)}=cos[ln(-i)]+isin[ln(-i)]=$
b. $z=(-1)^{i}=e^{ln(-1)^{i}}=e^{i\cdot ln(-1)}=cos[ln(-1)]+isin[ln(-1)]=$
, za = mě nenapadá další úprava...
2. Znázorněte množinu $<\varphi >=\{z\in \mathbb{C},z=\varphi (t)=-it+2t,t\in <-1,2>\}$
určil jsem si parametry $x=2t,y=-t$ , ale to je všechno. Navíc nevím, jak v daném příkladu postupovat, protože jsme podobný příklad na cvikách nebrali, proto předem děkuji za navedení správným směrem. Předem děkuji za odpověď

reimu · 06. 11. 2013 15:49 — Editoval reimu (06. 11. 2013 15:49)

V 1. je zbytečné rozkládat na součet cos a sin. $\ln -1$ a $\ln -i$ se přece dají snadno vypočítat.

Rumburak

↑ Tomas.P:
Také zdravím.

1. a)

Máme $-i = \cos $ \frac{3\pi}{2} \pm 2k\pi$ + i \sin $ \frac{3\pi}{2} \pm 2k\pi$ = \exp $ \frac{3\pi}{2} \pm 2k\pi$i$ ,
kde $k$ je libovolné celé číslo, takže podle mne

$(-i)^i = \[ \exp $ \frac{3\pi}{2} \pm 2k\pi$i \]^i = \exp $ \frac{3\pi}{2} \pm 2k\pi$i^2 = \exp $-\frac{3\pi}{2} \mp 2k\pi$$ .

1.b) Obdobně.

2. Zadání úlohy přeložme do jazyka analytické geometrie v rovině (kompl. č. $x + yi$ v alg. tvaru koresponduje
s vektorem $(x, y)$ resp. bodem $[x, y]$ ):

Znázorněte množinu $<\varphi >=\{[x, y] \in \mathbb{R}^2 ; [x, y]= [0, 0] + t (2 , -1) \wedge t \in \langle -1, 2\rangle \}$ .

Tomas.P

↑ reimu:
Ahoj, jak se to prosím určí? Já znám pouze definici hlavní hodnoty logaritmu $ln(z)=ln|z|+i\cdot arg(z)$ , ale to viditelně nemá žádnou spojitost s příkladem.
↑ Rumburak:
Ahoj, takže za 1.b mi ve zkratce vychází:
$-1=e^{i(\pi \pm 2k\pi)}$ a nakonec $(-1)^{i}=[e^{i(\pi \pm 2k\pi)}]^{i}=e^{i^{2}(\pi \pm 2k\pi)}=e^{(-\pi \mp 2k\pi)}$ .
U dvojky nevím, jak bych měl tu množinu znázornit..
Předem děkuji za odpověďi

Rumburak

↑ Tomas.P:

Řešení úloh typu 1 si pro jistotu zkonfrontuj s tou definicí komplexní mocniny, kterou jste probírali. Mohly by zde být odchylky
v jejím pojetí.

Ad 2.

Jestliže je v rovině $V$ (obecně v prostoru libovolné dimense) dán bod $A$ a nenulový vektor $\vec{u}$ , potom množinou

$\{ X \in V ; X = A + t\vec{u} , t \in \mathbb{R} \}$

je přímka procházející bodem $A$ a rovnoběžná s vektorem $\vec{u}$ . Zároveň každou přímku lze vyjádřit tímto způsobem, rovnice
$X = A + t\vec{u}$ se nazývá parametrickým vyjádřením odpovídající přímky. To asi znáš ze SŠ.

Pokud zde obor přípustných hodnot parametru $t$ zúžíme na nějakou podmnožinu $T \subseteq \mathbb{R}$ , bude uvedená rovnice vyjadřovat
tomu odpovídající podmnožinu $M(T)$ původní přímky.

Je-li množina $T$ omezeným uzavřeným intervalem (kladné délky), bude množina $M(T)$ úsečkou obsahující své krajní body
odpovídající krajním bodům intervalu $T$ .

Tomas.P

↑ Rumburak:
Ahoj, vychází mi takový graf.

Tomas.P

↑ Rumburak:
Ahoj, nemohlo by to být řešené následovně:
po určení parametrů $x=2t$ a $y=-t$ si vyjádřím z prvního parametru t, tzn. $t=\frac{x}{2}$ a dosadím do druhého parametru $y=-\frac{x}{2}$ a z rce $x=2t$ dosazením krajních bodů -1 a 2 zjistím hranice pro x, tzn. $x\in \langle-2, 4\rangle$ a vyjde mi graf. Je můj postup korektní? Předem děkuji za odpověď

Rumburak · 09. 11. 2013 10:54

↑ Tomas.P:

Ahoj.

Mám bohužel asi nějaký zastaralý počítač nebo neumím pracovat s tím Wolframem, takže podle grafu to kontrolovat nemohu. Ale:
z toho, co jsem napsal dříve (↑ Rumburak:), plyne, že množina

$<\varphi >=\{[x, y] \in \mathbb{R}^2 ; [x, y]= [0, 0] + t (2 , -1) \wedge t \in \langle -1, 2\rangle \}$

je úsečka s krajními body $A = [0, 0] + (-1)(2 , -1) = [-2, 1]$ , $B = [0, 0] + 2(2 , -1) = [4, -2]$ .
Ta je, jak jsi správně odvodil, částí přímky o směrnicivé rovnici $y=-\frac{x}{2}$ .

Takže to máš správně.

Matematické Fórum

#1 06. 11. 2013 12:33 — Editoval Tomas.P (06. 11. 2013 13:45)

Funkce komplexní proměnné

#2 06. 11. 2013 15:49 — Editoval reimu (06. 11. 2013 15:49)

Re: Funkce komplexní proměnné

#3 06. 11. 2013 16:01 — Editoval Rumburak (06. 11. 2013 16:03)

Re: Funkce komplexní proměnné

#4 06. 11. 2013 19:34 — Editoval Tomas.P (06. 11. 2013 20:32)

Re: Funkce komplexní proměnné

#5 07. 11. 2013 10:10 — Editoval Rumburak (07. 11. 2013 10:28)

Re: Funkce komplexní proměnné

#6 07. 11. 2013 13:25 — Editoval Tomas.P (07. 11. 2013 13:27)

Re: Funkce komplexní proměnné

#7 08. 11. 2013 18:27 — Editoval Tomas.P (08. 11. 2013 18:28)

Re: Funkce komplexní proměnné

#8 09. 11. 2013 10:54

Re: Funkce komplexní proměnné

Zápatí