Matematické Fórum

Turmawen · 08. 11. 2013 23:20

Ahoj,
nevedel byste si nekdo rady s timto prikladem, prosim?

Necht $f_{k}$ je posloupnost funkci definovana jako: $f_{k}(x)=( \sin k\pi x)^k$ pro $x\in (0,1)$ , 0 jinak. Ukazte, ze $f_{k}$ konverguje k 0 v $L^{p}$ pro kazde p.

Moc diky za kazdy napad.

Brano · 09. 11. 2013 00:35 — Editoval Brano (09. 11. 2013 14:13)

Potrebujes vypocitat
$||\sin^k k\pi x -0||_p^p=\int_0^1|\sin^k k\pi x|^pdx$
teda konkretne potrebujes dokazat, ze pre lubovolne $p$ ten vyraz konverguje k $0$ pre $k\to\infty$
$\int_0^1|\sin^k k\pi x|^pdx=\int_0^1|\sin k\pi x|^{kp}dx=\begin{pmatrix}k\pi x=y\\k\pi dx=dy\end{pmatrix}=\frac{1}{k\pi}\int_0^{k\pi}|\sin y|^{kp}dy=$
kedze je podintegralna funkcia $\pi-$ periodicka a parna, tak dostavame
$=\frac{1}{k\pi}2k\int_0^{\pi/2}|\sin y|^{kp}dy=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\sin^{kp} y\ dy=\frac{1}{\pi}B\left(\frac{kp+1}{2},\frac{1}{2}\right),$
kde $B(u,v)$ je Beta funkcia a pre $k\to\infty$ mozeme pouzit Stirlingovu aproximaciu a kedze plati $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ , tak mame
$\frac{1}{\pi}B\left(\frac{kp+1}{2},\frac{1}{2}\right)\approx \sqrt\frac{2}{\pi(kp+1)}\to 0$