Matematické Fórum

jamsoft · 05. 02. 2009 15:04

Ahoj všem! Potřeboval bych nakopnout s následujícím příkladem:

Na množině N je dána relace ~. Prvek a je v relaci s b (píšeme a ~ b), když po dělení dvěma dávají stejný zbytek (tzn. jsou oba liché nebo oba sudé). Je tato relace relací ekvivalence na N?

Vím, že, aby to byla relace ekvivalence, musí se dokázat reflexita, symetrie a tranzitivita. Umím to s relacemi, např. >, <...ale z toho příkladu jsem v pasti. Nevím, jak na to. Zřejmě se to bude dokazovat zvlášť pro lichá a zvlášť pro sudá čísla, ale dál už nevím. Pomůžete někdo, prosím? Předem díky moc!!!

Marian · 05. 02. 2009 15:14 — Editoval Marian (05. 02. 2009 15:14)

↑ jamsoft:
Dva prvky jsou v relaci ~ popsané ve tvém příspěvku právě tehdy, když jsou oba liché nebo oba sudé, jinými slovy řečeno, mají stejnou paritu.

1. Reflexivita
a~a, kde a je libovolný prvek množiny přirozených čísel. To ale platí, protože jak prvek a, tak prvek a mají stejnou paritu (prvky se rovnají dokonce).

2. Symetrie
a~b => b~a. Opět pravda. Nebudu ani vypisovat proč.

3. Tranzitivita
a~b, b~c => a~c. Prvky a, b mají stejnou paritu a zároveň b, c mají stejnou paritu. Tedy mají stejnou paritu i prvky a,c.

jamsoft · 05. 02. 2009 15:34

Díky moc za odpověď!
Asi jsem, ale natvrdlý, protože to pořád nechápu...
Jak dokážu reflexivitu pro prvky a a b a jak zvlášť pro sudá a zvlášť pro lichá čísla? Ty podmínky reflexivity, symetrie a tranzitivity znám, ale z minulého příspěvku nějak nejsem schopen pochopit, kde je ten důkaz pro sudá a pro lichá...

jamsoft · 05. 02. 2009 15:37

Dobrá, ještě mě napadlo, že tu reflexivitu bych dokázal pro zvlášť pro prvek a, zvlášť pro b. Je to tak?
Ale pořád mi nejde do hlavy ta sudá a lichá. Učitelka nám řekla, že se to má dokazovat zvlášť pro lichá a sudá a říkala něco o nule za desteninnou čárkou...ale už je to nějaká doba a moc si to nepamatuju...:-(

lukaszh · 05. 02. 2009 15:41

↑ jamsoft:
Keď si natvrdlý, tak zmäkni, lebo sa nepohneš :-) Tam nemusíš deliť nič na lichá sudá čísla. Čísla, ktoré delíš dvoma môžu dávať len zvyšok 0 alebo 1. Teda
$a\sim a$
určite platí, pretože ak a dáva zvyšok 0, tak aj a dáva zvyšok 0. Ak a dáva zvyšok 1 tak aj a dáva zvyšok 1. Je to úplne triviálne a elementárne pretože a=a.
Druhé: Symetria:
$a\sim b\Rightarrow b\sim a$
Ak a dáva zvyšok 0, tak aj b dáva zvyšok 0. Keďže b dáva zvyšok 0, tak aj a dáva zvyšok nula. Aj to je úplne pre ... Neviem stále čo na tom nechápeš. Skús sa opýtať na niečo konkrétnejšie.

jamsoft · 05. 02. 2009 16:09

Teď už to chápu (i přes svou natvrdlost)! Díky moc! :-)

Matematické Fórum

#1 05. 02. 2009 15:04

Zjištění relace ekvivalence

#2 05. 02. 2009 15:14 — Editoval Marian (05. 02. 2009 15:14)

Re: Zjištění relace ekvivalence

#3 05. 02. 2009 15:34

Re: Zjištění relace ekvivalence

#4 05. 02. 2009 15:37

Re: Zjištění relace ekvivalence

#5 05. 02. 2009 15:41

Re: Zjištění relace ekvivalence

#6 05. 02. 2009 16:09

Re: Zjištění relace ekvivalence

Zápatí