Matematické Fórum

lea · 05. 02. 2009 18:12

Prosím o radu s důkazem: Dokažte, že v trojúhelníku se stranami a, b, c platí c^2=a^2+b^2 právě tehdy, když úhel proti straně c je pravý. Děkuji

Pavel Brožek · 05. 02. 2009 18:17

Smíš použít kosinovou větu? :-)

lea · 05. 02. 2009 18:23

Právě že nesmíš. Tak jsem to řešila původně i já:o)

fmfiain

tu mas dokazy pre pytagorovu vetu. mozno ti to pomoze: http://sk.wikipedia.org/wiki/Pytagorova_veta

jelena · 05. 02. 2009 18:50

↑ BrozekP:

Speciálně pro Tebe :-)

a zde jsou náměty (které samozřejmě nemusíš číst, neboť to zvládneš i tak):

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% … 1%80%D0%B0

musixx · 05. 02. 2009 18:53 — Editoval musixx (05. 02. 2009 18:59)

↑ lea: Z jedne strany jde o dukaz Pythagorovy vety (vime-li, ze trojuhelnik je pravouhly). Tady je stranka, kde je 81 dukazu. Napriklad dukaz cislo 3 je velice nazorny.

Tezko rict, co pouzit pro dukaz druhe implikace (a^2+b^2=c^2 ==> uhel gama je pravy), abychom skryte nepouzili Pythagorovu vetu. To si myslim, ze vylucuje treba Thaletovu kruznici a analytickou geometrii vubec. Mozna zase tak nejaky "dukaz obrazkem" a k tomu sporem - popremyslim.

Pavel Brožek

Implikaci úhel je pravý => platí $c^2=a^2+b^2$ najdeš kdekoliv na internetu jako důkaz Pythagorovy věty. Obrácenou implikaci bych dokázal takto:

Z rovnosti $c^2=a^2+b^2$ plyne, že strana c je nejdelší a výška na stranu c tedy rozdělí trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky (délku výšky označím v, úseky strany c jako $c_a, c_b$ , kde index značí s jakou stranou má společný vrchol). Využiju dokázanou Pythagorovu větu na pravoúhlé trojúhelníky

$v^2+c_a^2=a^2\nl v^2+c_b^2=b^2$

Sečtením rovnic dostaneme

$2v^2=a^2+b^2-c_a^2-c_b^2$

Úhel $\gamma$ u vrcholu C mám nyní výškou rozdělen na dva úhly $\gamma_a,\,\gamma_b$ . Platí

$\cos\gamma=\cos(\gamma_a+\gamma_b)=\cos\gamma_a\,\cos\gamma_b-\sin\gamma_a\,\sin\gamma_b=\frac{v}{a}\cdot\frac{v}{b}-\frac{c_a}{a}\cdot\frac{c_b}{b}=\nl =\frac{v^2-c_ac_b}{ab}=\frac{2v^2-2c_ac_b}{2ab}=\frac{a^2+b^2-c_a^2-c_b^2-2c_ac_b}{2ab}=\frac{a^2+b^2-(c_a+c_b)^2}{2ab}=\nl =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{0}{ab}=0$

Z toho tedy plyne, že $\gamma=\frac{\pi}2$ , což jsme chtěli dokázat.

lea · 05. 02. 2009 19:03

↑ musixx:Děkuji.

musixx · 05. 02. 2009 19:16

↑ BrozekP: hezke...

lea · 05. 02. 2009 19:28

↑ BrozekP:
Děkuji moc:o)

Marian · 06. 02. 2009 00:00

↑ BrozekP:↑ lea:
Dokazoval bych obrácenou implikaci ještě jiným způsobem. Nejprve jsem chtěl postupovat stejně jako BrozekP, ale nakonec jsem vymyslel následující důkaz. Předpokládám, že máme dokázanou implikaci úhel je pravý => platí $c^2=a^2+b^2$ . Toho dále využiji.

Obrácenou implikaci budu dokazovat sporem. Tedy dokáži tvrzení
Jestliže $\gamma\neq\frac{\pi}{2}$ , pak platí $a^2+b^2\neq c^2$ .

Situaci vyobrazím graficky zde. Dokážu zde jenom tvrzení, kdy úhel u vrcholu C, tedy úhel ACB je větší než 90°. pokud by byl menší než 90°, pak by se dokazovalo analogicky (přenechávám zájemcům). Platí jistě, že trojúhelníky ABE a ADC jsou podobné (s koeficientem podobnosti k>1), navíc pravoúhlé. Platí pro ně tudíž vztahy

Na obrázku je ale ještě jeden pravoúhlý trojúhelník, a to BCE s pravým úhlem u vrcholu E. Pro délky jeho stran platí vztah
$|CE|^2+|BE|^2=|BC|^2.$
Na druhou stranu, z podobnosti trojúhelníků ABE a ADC plyne
$|EC|=k\cdot |AC|-|AC|=(k-1)\cdot |AC|,\nl |BE|=k\cdot |CD|.$
Proto je
$|CE|^2+|BE|^2=|BC|^2\qquad\Leftrightarrow\qquad |AC|^2\cdot (k-1)^2+k^2\cdot |CD|^2=|BC|^2.$
Platí následující:

To je však přesně to, co máme dokázat. Druhá situace stejně snadno.

Kondr · 06. 02. 2009 00:14

Jedna implikace je opravdu dokázána leckde.

Druhou implikaci dokážeme snadno z ní: předpokládejme, že máme trojúhelník o stranách a,b,c, a^2+b^2=c^2.
Určitě existuje trojúhelník KLM o stranách a,b,d, jehož strany délek a a b svírají pravý úhel. Pro něj platí a^2+b^2=d^2, dosazením z předchozí rovnice a odmocněním |c|=|d|. Trojúhelníky ABC a KLM jsou shodné podle věty sss, jsou proto oba pravoúhlé.

Matematické Fórum

#1 05. 02. 2009 18:12

Důkaz Pythagorovi věty

#2 05. 02. 2009 18:17

Re: Důkaz Pythagorovi věty

#3 05. 02. 2009 18:23

Re: Důkaz Pythagorovi věty

#4 05. 02. 2009 18:49 — Editoval fmfiain (05. 02. 2009 18:49)

Re: Důkaz Pythagorovi věty

#5 05. 02. 2009 18:50

Re: Důkaz Pythagorovi věty

#6 05. 02. 2009 18:53 — Editoval musixx (05. 02. 2009 18:59)

Re: Důkaz Pythagorovi věty

#7 05. 02. 2009 19:01 — Editoval BrozekP (05. 02. 2009 19:21)

Re: Důkaz Pythagorovi věty

#8 05. 02. 2009 19:03

Re: Důkaz Pythagorovi věty

#9 05. 02. 2009 19:16

Re: Důkaz Pythagorovi věty

#10 05. 02. 2009 19:28

Re: Důkaz Pythagorovi věty

#11 06. 02. 2009 00:00

Re: Důkaz Pythagorovi věty

#12 06. 02. 2009 00:14

Re: Důkaz Pythagorovi věty

Zápatí