Matematické Fórum

Klainer

Dobrý den, chtěl bych se zepatat, jak mám správně určit u tohoto trojného integrálu meze:

$\underbrace{\int\int\int }_{M} xy dxdydz$

Množina je vymezena následovně:
$M= \{x,y,z\} \in \mathbb{R}^{3}: x \ge 0 ; y \ge 0; x+y \le 1; 0\le z\le x^{2}+y^{2}+1$

Případně pak meze u této varianty:

$M= \{x,y,z\} \in \mathbb{R}^{3}: x \ge 0; y\ge 0; z \ge 0; x+y +z\le 1;$

Děkuji moc za radu !

hribayz · 18. 11. 2013 16:40

Ahoj,

použil bych Fubiniovu větu o záměně pořadí integrace, pak to půjde snadno. Tedy integroval bych $\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{x^2+y^2+1}xy \space dzdydx$

druhý obdobně

Klainer

↑ hribayz:
Děkuji za odpověď, jen by mě zajímalo pro tam je to nekonečno..

A měl bych ještě jeden dotaz, mám další příklad kde je integrál omezen takhle:
$x\ge 0 , \sqrt{x^{2}+y^{2}}-1 \le z\le 1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

Dosadil jsem do podmínek, pomocí substituce do cylindrických souřadnic a vyšli mi tyto meze:
$r-1\le z\le 1-r$
a pro r:
$0\le r\le 1$
pro t: zůstává povodní podmínka <0,2pi>

Myslíte si že postupuji dobře ?...
Moc děkuji

Optix · 18. 11. 2013 18:16 — Editoval Optix (18. 11. 2013 18:22)

jak jsem se na to tak díval tak rozhodně mez v prvním integrálu by nemělo být nekonečno, ale mě vychází horní mez 1, a co se týče druhého příkladu tak při použití válcových souřadnic $x=rcos(t)$ tak stále zůstává podmínka $x\ge 0 , rcos(t)\ge 0 \Rightarrow cos(t)\ge 0$ protože r je vždy větší jak r, tedy by dle mého $t\in (0, \frac{\pi}{4})$ a nejspíše ještě druhá části intervalu kde je cos je kladný
Pokud jsem samozřejmě někde neudělal chybu

Klainer · 18. 11. 2013 22:02

↑ Optix:
Děkuji a meze pro z jsem stanovil dobře ? Protože když to naklikám do wolframAlpha tak mi ten integrál vychází 0.

Optix · 19. 11. 2013 10:37

v mezích pro z nevidím problém, ale jakou funkci integrujete? nezapomněl jste omylem přenásobit determinantem transformační matice (Jacobiánu, v tomto případě rovnem r)?

Matematické Fórum

#1 18. 11. 2013 14:57 — Editoval Klainer (18. 11. 2013 14:58)

Trojný integrál určení mezí

#2 18. 11. 2013 16:40

Re: Trojný integrál určení mezí

#3 18. 11. 2013 17:58 — Editoval Klainer (18. 11. 2013 18:03)

Re: Trojný integrál určení mezí

#4 18. 11. 2013 18:16 — Editoval Optix (18. 11. 2013 18:22)

Re: Trojný integrál určení mezí

#5 18. 11. 2013 22:02

Re: Trojný integrál určení mezí

#6 19. 11. 2013 10:37

Re: Trojný integrál určení mezí

Zápatí