Matematické Fórum

pooky · 19. 11. 2013 21:45 — Editoval pooky (19. 11. 2013 21:46)

Potřeboval bych poradit, zadáním je: Vypočítej derivaci funkce pro všechna realná X

Předem děkuji

Formol · 19. 11. 2013 21:50

↑ pooky:
Vnější funkce je přirozený logaritmus, vnitřní je $x + \sqrt{1+x^2}$ . Takže první krok bude vypadat takto:

pooky · 19. 11. 2013 21:58

↑ Formol:

Po derivaci všech členů jsem bez další manipulace dospěl k tomuto:

nejsem si jistý, jestli jsem to derivoval správně

byk7 · 19. 11. 2013 22:55

Ukážu jinou možnost jak postupovat.
Funkce hyperbolický sinus je definována $\sinh(x):=\frac{\mathrm{e}^{\,x}-\mathrm{e}^{\,-x}}{2}=\frac{$\mathrm{e}^{\,x}$^2-1}{2\mathrm{e}^{\,x}}$ . Zkusme najít inverzi k této funkci (zatím nevíme, že existuje).
$y&=\frac{$\mathrm{e}^{\,x}$^2-1}{2\mathrm{e}^{\,x}} \\ 2y\,\mathrm{e}^{\,x}&=$\mathrm{e}^{\,x}$^2-1 \\ $\mathrm{e}^{\,x}$^2-2y\,\mathrm{e}^{\,x}-1&=0 \\ \mathrm{e}^{\,x}&=\frac{2y\pm\sqrt{4y^2+4}}{2}=y\pm\sqrt{y^2+1}$
pro každé reálné $x$ a $y$ platí $\mathrm{e}^{\,x}>0, y-\sqrt{y^2+1}<0$ proto nutně
$\mathrm{e}^{\,x}&=y+\sqrt{y^2+1} \\ x&=\ln$y+\sqrt{y^2+1}$$
inverze k sinh(x) je tedy
$\text{arcsinh}(x)=\ln$x+\sqrt{x^2+1}$$ .

Najít derivaci Tvojí funkce tedy znamená zderivovat funkci $\text{arcsinh}(x)$ , to ale není těžké:
$\big(\text{arcsinh}(x)\big)'&=\frac{1}{\big(\sinh(y)\big)'}=\frac{2}{$\mathrm{e}^{\,y}$'-$\mathrm{e}^{\,-y}$'}=\frac{2}{\mathrm{e}^{\,y}+\mathrm{e}^{\,-y}}= \\ &=\frac{2}{$x+\sqrt{x^2+1}$+$-x+\sqrt{x^2+1}$}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
a máme výsledek :-)

pooky · 19. 11. 2013 23:53

↑ byk7:

Je to pěkný, ale vůbec to nedávám:D Neměl bys řešení, které dokáže pochopit lidská bytost?

Xorii · 19. 11. 2013 23:54

Nejlépe, aby se nepoužíval nějaký ten bláznivý hyperbolický sinus z jiné dimenze :D

byk7 · 20. 11. 2013 00:17

↑ pooky: ↑ Xorii:

Prostě derivujte složenou funkci.
$f'(x)&=$\ln\(x+\sqrt{1+x^2}$\)'=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot$x+\sqrt{1+x^2}$'=\frac{1+$\sqrt{1+x^2}\,$'}{x+\sqrt{1+x^2}}= \\ &=\frac{1+\frac{$x^2$'}{2\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Xorii · 20. 11. 2013 00:36

↑ byk7:

Tohle už je super, ale nechápu poslední krok kam to vše zmizelo. Mohl by jsi ještě prosím poradit?

byk7 · 20. 11. 2013 00:59

↑ Xorii:

$\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}:$x+\sqrt{1+x^2}$=\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Matematické Fórum

#1 19. 11. 2013 21:45 — Editoval pooky (19. 11. 2013 21:46)

Derivace složené funkce

#2 19. 11. 2013 21:50

Re: Derivace složené funkce

#3 19. 11. 2013 21:58

Re: Derivace složené funkce

#4 19. 11. 2013 22:55

Re: Derivace složené funkce

#5 19. 11. 2013 23:53

Re: Derivace složené funkce

#6 19. 11. 2013 23:54

Re: Derivace složené funkce

#7 20. 11. 2013 00:17

Re: Derivace složené funkce

#8 20. 11. 2013 00:36

Re: Derivace složené funkce

#9 20. 11. 2013 00:59

Re: Derivace složené funkce

Zápatí