Matematické Fórum

Halfik · 20. 11. 2013 14:48 — Editoval Halfik (20. 11. 2013 14:48)

Zdravím,

snad nezačínám být otravný. :) Učím se na písemku. :)

Mám příklad limity, na kterou mám aplikovat L'H pravidlo:

Limita pro $x \Rightarrow 0$ :

$\frac{1-cosx}{xsinx}$

Po derivaci jmenovatele a čitatele (zvlášť) mám tedy:

$\frac{sinx}{sinx+xcosx}$

A teď nevím co je mým úkolem. Aby se limita nerovnala nule?
Jak to upravit dále? Jestli se to teda ještě upravuje. A ještě otázka: Můžu při L'H pravidlu derivovat vícekrát?

Cheop · 20. 11. 2013 14:53

↑ Halfik:
Můžeš smysluplně derivovat kolilrát chceš

Rumburak · 20. 11. 2013 15:00

↑ Halfik:

Ahoj.

Tvým dalším úkolem je spočítat $A := \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{\sin x+x \cos x}$ .

Pokud tato limita existuje, pak podle l'H. pravidla existuje i $B := \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x \sin x}$ a platí $B = A$ .

Halfik · 20. 11. 2013 15:03

Předpokládám, že pokud derivuju znovu, tak opět musím derivovat i čitatel i jmenovatel.

Mno a tedy, jak mám dospět k výsledku? Já totiž nevím, co potřebuju, aby mi vyšlo.

Halfik · 20. 11. 2013 15:17

Dobrá tedy - já jsem si myslel, že postupuju tak, že pokud se mi limita po dosazení rovná tak používám L'H pravidlo. A pak už bych měl najít způsob jak získat nějaký smysluplný výraz, tedy takový, který není roven nule.

Ale opravdu nevím, mohl by mi někdo ukázat postup s výsledkem? Ať můžu vidět, jak se u toho zhruba postupuje.

Rumburak

↑ Halfik:

l'H. pravidlo slouží k výpočtu obtížně řešitelných limit typu

(1) "0/0" nebo " nekonečno / nekonečno"

a můžeme ho použít znovu, když předchozí jeho použití "nezabralo" (tj. když jsme dostali opět některý z typů (1)
a neumíme tuto "novou" limitu spočíst přímo).

Ale stává se, že "novou" limitu už spočítat umíme snadno bez l'H. p. ( i když třeba je také typu (1)), což je i tento případ:

$A := \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{\sin x+x \cos x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{1+\frac{x}{\sin x}\cdot \cos x} = 1/2$

(Využíváme znalost, že $\lim_{x \to 0}\frac {x}{\sin x} = 1$ , což je limita typu "0/0" a spočíst by se dala rovněž podle l'H. p. :

$\lim_{x \to 0}\frac {x}{\sin x} = \lim_{x \to 0}\frac {1}{\cos x} =1$ ).

Halfik · 20. 11. 2013 20:45

Jestli to chápu dobře, tak jsme si pomohli úpravou, že jsme celý výraz vydělili $sinx$ .

Opravdu nejsem dobrý na matematiku, proto se teď ptám: jaktože to nemá být?

$\lim_{x \to 0}\frac{1}{1+\frac{x \cdot cosx}{\sin x}}$

Rumburak

↑ Halfik:

To je totéž, co jsem napsal já , protože $\frac{1}{1+\frac{x \cdot cosx}{\sin x}} = \frac{1}{1+\frac{x}{\sin x}\cdot \cos x}$ .

Halfik · 21. 11. 2013 18:51

Mno a tohle je můj problém, že já (nejspíš protože matiku necvičím) bych to považoval jako:

$\frac{1}{1+\frac{x}{sinx}\cdot \frac{cosx}{sinx}} = \frac{1}{1+1\cdot \frac{1}{0}}$

Tudíž by mi to vycházelo $1$ . A nevím, jaký je mezi tím rozdíl. :-/

Rumburak

↑ Halfik:

Zde $\frac{x}{sinx}\cdot \frac{cosx}{sinx}$ se výrazam $\sin x$ dělí celkem dvakrát, zatímco zde $\frac{x \cdot cosx}{\sin x}$ resp. zde $\frac{x}{\sin x}\cdot \cos x$ pouze jednou.

Buťo jsi nebyl dost pozorný nebo by Ti prospělo zopakovat si partie ze ZŠ o algebraických výrazech (nic ve zlém :-)).

Jinak k Tvému poslednímu výpočtu limity : $\frac{1}{1+1\cdot \frac{1}{0}} = \frac{1}{1\pm \infty} = \frac{1}{\pm \infty} = 0$ a nikoliv 1 . (Jde samozřejmě jen
o mnemotechnické schema výpočtu a nikoliv o korektní zápis výpočtu samotného.)

Halfik · 22. 11. 2013 10:11

Mno, ono na tom opakování něco bude. :)

Ale dokud jsme u toho, rád bych ještě zabrousil do ZŠ:

Už ten rozdíl vidím. :) Chápu to správně, že pokud mám několik "členů" součinu ve výrazu a já celý výraz něčím dělím, můžu si vybrat který z těch "členů" vydělím?

Protože bych mohl udělat i tohle, ne?

$\frac{1}{1+x\cdot \frac{cosx}{sinx}}$

Jinak díky, za odpověď, když je to svým způsobem téměř off-topic.

Cheop · 22. 11. 2013 10:18

↑ Halfik:
Ano i takto bys to mohl udělat a výsledek bude stejný.

Halfik · 22. 11. 2013 10:31

Děkuji. :)

Matematické Fórum

#1 20. 11. 2013 14:48 — Editoval Halfik (20. 11. 2013 14:48)

Limita - L'H pravidlo

#2 20. 11. 2013 14:53

Re: Limita - L'H pravidlo

#3 20. 11. 2013 15:00

Re: Limita - L'H pravidlo

#4 20. 11. 2013 15:03

Re: Limita - L'H pravidlo

#5 20. 11. 2013 15:17

Re: Limita - L'H pravidlo

#6 20. 11. 2013 15:28 — Editoval Rumburak (20. 11. 2013 15:36)

Re: Limita - L'H pravidlo

#7 20. 11. 2013 20:45

Re: Limita - L'H pravidlo

#8 21. 11. 2013 12:23 — Editoval Rumburak (21. 11. 2013 12:24)

Re: Limita - L'H pravidlo

#9 21. 11. 2013 18:51

Re: Limita - L'H pravidlo

#10 22. 11. 2013 09:48 — Editoval Rumburak (22. 11. 2013 09:57)

Re: Limita - L'H pravidlo

#11 22. 11. 2013 10:11

Re: Limita - L'H pravidlo

#12 22. 11. 2013 10:18

Re: Limita - L'H pravidlo

#13 22. 11. 2013 10:24 — Editoval Creatives (22. 11. 2013 10:24) Příspěvek uživatele Creatives byl skryt uživatelem Creatives.

#14 22. 11. 2013 10:31

Re: Limita - L'H pravidlo

Zápatí