Matematické Fórum

ivanya · 22. 11. 2013 21:09

Ako spravne zapisat definicny obor v takomto pripade?

$f(x)= \sqrt{sin x}+\sqrt{16-x^{2}}$
$sin x\ge 0 \wedge 16-x^{2}\ge 0$
$x\in <0+2k\pi ;\pi +2k\pi > \wedge (4-x)(4+x)\ge 0$

D(f) teda vychadza
$x\in <0+2k\pi ;\pi +2k\pi > \cup <-4;4>$

Moze to zostat takto zapisane?

Stýv · 22. 11. 2013 21:44

ne. jednak tam nemáš napsáno, co je $k$ , jednak tam máš sjednocení místo průniku. a díky tomu průniku to můžeš ještě upravit, aby tam to $k$ vůbec nevystupovalo

kryštof

(edit) $x\in\bigcup_{k\in \mathbb{Z}}^{} <0+2k\pi ;\pi +2k\pi > \cap <-4;4>= <-4;-\pi >\cup <0;\pi >$

gadgetka · 22. 11. 2013 21:54

$x\in \langle -4; -\pi\rangle \cup \langle 0; \pi\rangle$

byk7 · 22. 11. 2013 21:59

1) Nemůže, protože je to špatně.

2) Logickému operátoru $\wedge$ "odpovídá" množinový $\cap$ , stejně tak operátoru $\vee$ odpovídá množinové $\cup$ . Proto musíš dělat průnik těch dílčích definičních oborů a ne jejich sjednocení.

Místo $\langle0+2k\pi,\pi+2k\pi\rangle$ je asi lepší psát
$\bigcup_{k\in\mathbb Z}\langle 2k\pi,(2k+1)\pi\rangle$ .

Pro $k=1$ máš dolní mez $2\pi>6>4$ , takže stačí uvažovat $k\le0$ ,
stejně tak pro $k=-2$ máš horní mez $-3\pi<-9<-4$ , takže celkově stačí uvážit pouze $k\in\{-1,0\}$ .

Pro $k=0$ dostáváme $\langle0,\pi\rangle\cap\langle-4,4\rangle=\langle0,\pi\rangle$ , takže interval $\langle0,\pi\rangle$ bude celý patřit do definičního oboru.

Pro $k=-1$ máme $\langle-2\pi,-\pi\rangle\cap\langle-4,4\rangle=\langle-4,-\pi\rangle$ , takže do definičního oboru patří i interval \langle-4,-\pi\rangle.

Celkově tak dostáváš, že
$D(f)=\langle-4,-\pi\rangle\cup\langle0,\pi\rangle$ .